Een maandelijkse uitgave van deNederlandse Cementindustrieredactie-adresHerengracht 507 Amsterdamtelefoon 020-238531november/december 1975 ONHet samenstellen vantolerantiesIn NEN 3862 - heter bekend als de VB '74, deelB -worden in een aanhangsel richtlijnengegeven met betrekking tot toleranties.In BETON/EK 3/17 is een overzicht gegevenvan de verschillende foutenbronnen die deoorzaak kunnen zijn van te wijde of te smallevoegen tussen de onderdelen van een con-structie. Hoe uit de verschillende afwijkingenvan de maatvoering de voegwijdte kan wordenberekend, is echter niet besproken. NEN 3862zegt alleen maar dat het lineair samenstellenvan toleranties niet is toegestaan en verwijstvoor 'hoe het wel moet' naar rekenvoorbeeldenin CUH-rapport nr. 66.BETON/EK 3/17 besluit met de belofte er in eenvolgende aflevering (en dat is deze) op terug tezullen komen en waarschuwt alvast dat hetniet zo eenvoudig zal zijn.Een beetje statistiekDe oorzaak van het wat mysterieuze slot van deRichtlijnen en de voorspelde moeilijkheden ligtin het feit dat Over fouten wordt gesproken.Fouten bij het uitzetten van stramienlijnen enbij het plaatsen van de elementen. Fouten ookin de afmetingen van de constructie-onder-delen. Rekenen met fouten echter betekenttoepassing van de foutenleer en het is defoutenleer die zegt dat afwijkingen niet zo maarmogen worden opgeteld.1Allereerst moet een onderscheid worden ge-maakt tussen twee soorten fouten: systema-tische en toevallige fouten. Het verschil tussendeze twee kan het beste worden geïllustreerdaan de hand van de fabricage-afwijkingen.Stel dat de normale maat Ln (dat wil dusvolgens NEN 5702 zeggen de gewenste maatvan een bouwelement) 1000 mm bedraagt. Er isechter geen betonwarenfabriek die een partijelementen levert met een lengte van precies1000 mmo Wanneer alle elementen van zo'npartij exact zouden worden opgemeten, danzouden grotere en kleinere afwijkingen van denormale maat worden vastgesteld, zowel naarboven als naar beneden. De meetresultatenvormen statistisch gezien een geheel (destatistiek spreekt van 'massa') dat wordt ge-kenmerkt door het rekenkundig gemiddelde flen de standaardafwijking u. Men noemt nufl - Ln de systematische fout, terwijl u eenmaat voor de toevallige fouten is.Systematische foutenSystematische fouten mogen gewoon wordenopgeteld. Als de bovengenoemde elementengemiddeld slechts 998 mm lang zijn (door eenwat te krap bemeten bekisting en/of krimp),dan is de systematische fout 998 - 1000 =-2 mmo Wanneer nu series van 10 van dezeelementen naast elkaar worden geplaatst, danis de systematische fout van de totale lengtegewoon gelijk aan de som van de individuelesystematische fouten dus 10 X -2 = -20 mmoWorden deze gemiddeld wat te smalle ele-menten tussen kolommen geplaatst die ge-middeld 2 mm te breed zijn, dan past, tenminstewat de systematische afwijkingen betreft, allesweer perfect: de totale systematische fout isnu -2 + 2 = 0 mmoI1-- Lr)---+.12"1-12I: : J52,II!IViLStI:IIFiguur 1Toevallige foutenVoor de toevallige fouten is de rekenwijze watingewikkelder. Hiervoor geldt dat niet met destandaardafwijkingen moet worden gerekend,maar met hun kwadraten. Dit kwadraat van destandaardafwijking heeft daarom zelfs eenaparte naam gekregen: de variantie, die wordtaangeduid met u2 of V.Als bij de produktie van de elementen de lengteeen standaardafwijking van 2 Olm blijkt tehebben, dan is de variantie dus 4 01012 en devariantie van de lengte van een serie van 10elementen dus 10X 4 = 4001012. Wordt hieruitde wortel getrokken, dan ontstaat weer eenstandaardafwijking: de standaardafwijking vande totale lengte is y40 = 6,3 mOl.Het blijkt dat de berekening wat ingewikkelderis, maar dat een samenvoeging van toevalligefouten een minder sterk effect heeft als eensamenvoeging van systematische fouten. Endat is voor de berekening van voegwijdten eenheel belangrijke conclusie.Ook ongelijksoortige standaardafwijkingenmoeten via hun varianties wo'rden samen-gevoegd. Als de standaardafwijking bij het uit-zetten van de stramienlijn Up1 bedraagt en destandaardafwijking bij het plaatsen van eenbetonoppervlak ten opzichte van zo'n stramien-lijn Up2 is, dan wordt de toevallige fout in deuiteindelijke plaats gevonden uit YUp? + up?VoorbeeldElementen met een normale lengte van 1000Olm moeten met hun hartlijn worden geplaatstop stramienlijnen die zijn uitgezet op afstandenvan 1020 Olm. Bij het uitzetten van de stramien-lijnen noch bij het plaatsen van de elementenworden systematische fouten gemaakt, maarwel toevallige, respectievelijk aan te geven metUIl 1 en UP3· Hierbij slaat up3 op de afwijkingentussen de hartlijn van een element en de aan-gebrachte stramienlijn. De gebruikte elemen-ten hebben een gemiddelde afmeting van 998Olm, bij een standaardafwijking Ut van 3 Olm.Gevraagd wordt naar de variatie in voegwijdteals up1 =1 Olm en up3 =2 Olm.2De beschreven situatie wordt weergegeven infiguur. 1. Hierbij is een tweetal elementen ge-tekend met hun hartlijnen H en hun stramien-lijn S. Bovendien is Ln aangegeven. De linkeren de rechter voegrand worden aangegevendoor respectievelijk VL en VR.SI heeft een onzekerheid van plaats die wordtaangegeven door up1 = 1 Olm. De onzekerheidvan plaats van H deelt deze onzekerheid vanSI, omdat gepoogd wordt de hartlijn op deaangebrachte stramienlijn te plaatsen. Er komtechter nog bij de hierbij gemaakte plaatsings-fout, gekenmerkt door Up3 =2 Olm. De onzeker-heid van Hl is dus (en voor het gemak gaanwe nu maar over van standaardafwijkingen opvarianties):u2HI= u2p1 + u2p3Vervolgens moet de afstand Hl - VL wordenbekeken. Er is een systematische fout in deelementafmeting van 998 - 1000 = -2 Olm.De afstand Hl - VL is echter slechts de helftvan de elementafmeting en de systematischefout is dus voor dit deel niet -2 mOl maar -1Olm.Op dezelfde manier kan worden beredeneerddat de toevallige fout van de halve afmetingniet Ut = 3 Olm, maar utf2 = 1,5 Olm bedraagt.De plaats van VL kan dus worden aangegevenals - 1 Olm ten opzichte van de op de tekeningaangegeven plaats met een variantie vanu2 - u2 + (uJ2)2 - u2 + u2 +(qJ2)2-Y L- Hl' - PI P3 -12 + 22 + 1,52 =7,2501012Op volkomen dezelfde wijze kan worden be-rekend dat de plaats van VR +1 Olm van deplaats op de tekening afwijkt met eveneenseen variantie vanq\R= q2p1 + q2p3 + (qJ2)2 = 7,2501012.Samenvoeging van beide gegevens levert tenslotte de voegwijdte als 20 Olm + 2 Olm = 22Olm, met een variantie vanu2y = u2yL+ u\R= 7,25 + 7,25 = 14,501012.Dit komt overeen met een standaardafwijkingqy = 3,8 Olm.992 1 05 02 01 005 001106050403020 m 50,01 005 01 02 05 1 2 5 10 20 30 40 50 60 10 80 90 9kans op' exéentriciteiten of J --99,99 99,9 99,8 99 98 95 90 80 , . ,\\f\1\\1\\1\,I\.\1\1\ Il\\0 I 1\ 5 98 99 998999 99,r::::I+1....(D....·ö.;::....c:(])()Figuur 2SpreidingsgebiedDe waarde 3,8 mm is dus de maat van de toe-vallige fout. Het woord 'toevallig' zegt 'al dat dewerkelijke afwijking van de te ver-wachten voegwijdte van 22 mm niet van tevorenis te voorspellen. Er kan echter wel wordenaangegeven wat de kans is op een afwijkinggroter dan 5 mm of groter dan 10 mm of welkeandere waarde dan ook.Daarvoor drukt men eerst de afwijking uit alsexcentriciteit u, door haar te delen door destandaardafwijking. Een voegwijdte van 27 mm27 - 22heeft dus een excentriciteit u = 38,1,3 terwijl een voegwijdte van 12 mm een12 - 22excentriciteit heeft van u = 3 8 =-2,6.,Er bestaan tabellen die aangeven wat de kansis op een excentriciteit groter of kleiner dande aangegeven waarde. Zo is de kans op eenexcentriciteit kleiner dan -2,6 ongeveer 0,5%.Dit betekent dus in ons geval dat voegwijdtenkleiner dan 12 mm vrijwel niet voor zullenkomen.De kans op een excentriciteit groter dan 1,3 is9,7'%. Men mag dus wel regelmatig voegenverwachten die breder zijn dan 27 mmoMen kan de waarden uit zo'n tabel ook ingrafiekvorm weergeven. Dit is bij voorbeeldgedaan in figuür 2, waar langs de y-as moge-lijke waarden van u worden aangegeven,terwij!llangs de x-as dan kan worden afgelezenwat 'de kans is op een excentriciteit '2; u, danwel JK De verdeling van de x-as is overigensniet iTneair, maar volgens de normale verdelinguitgezet. Hierdoor ontstaat een rechtlijnig ver-band tussen de waarden van u en de bij-behorende kansen.Stel dat in het bovengenoemde geval voeg-wijdten die meer dan 5,0 mm afwijken van devoorgeschreven 20,0 mm worden afgekeurd.Dat betekent dat voegwijdten '2;25,0 mm enNRIM mm worden afgekeurd. Deze grens-waarden komen overeen met excentriciteiten25 - 22 15 - 22van == 079 en van = -1,84.3 , 8 ' 3,83De kans op afkeuring is 21,5% + 3,5'% =25'%, met andere woorden, één op de viervoegen zal worden afgekeurd.In het CUR-rapport wordt een nomogram ge-geven waarin voor gegeven waarden van destandaardafwijking en de toegelaten afwijkin-gen direct de kans op afkeuring kan wordenafgelezen.TolerantiesMen kan erover discussiëren welk percentageuitval nog aanvaardbaar is. Dat hangt ookvan de omstandigheden af. In CUR-rapportnr. 66 wordt voor beide grenzen 1% gehan-teerd en blijkens figuur 2 komt dit overeen meteen afwijking groter dan 2,33a.Men noemt nu het gebied tussen ft - 2,33