BandUitgavestandaard v o o r t e c h n o l o g i e e n u i t v o e r i n g v a n b e t o nnovember20130616Keuren metkansenHoe metingen aansteekproeven ietszeggen over hetgeheel2 november 2013 standaard 16 I 06Keurenmet kansenAan de rand van de tafel staat de ober. Meteen vragende blik kijkt hij rond, op zoek naariemand die de wijn wil keuren. Liefdevol toonthij alvast de fles, maar het gaat natuurlijk om deinhoud. Wie keurt de eerste slok? En kan hij ofzij op basis van die eerste slok dan iets zeggenover de rest van de wijn in de fles, of zijn daarmeer slokken voor nodig? Over dit ogenschijnlijkeenvoudige proces gaat deze Betoniek: hoe keurik beton (en wijn)?De basisboodschap van deze Betoniek is ei-genlijk heel eenvoudig: keuren is meten, wantmeten is weten. Maar waarom keuren we ei-genlijk? Waarom laten we de eerste slok uiteen fles wijn over onze tong dansen? Niet omte bepalen of de wijn lekker is. We proevenom te weten of de wijn `kurk' heeft. Wijn isnamelijk een levend product en daarmee on-derhevig aan variatie. Of een fles wijn kurkheeft, valt met ??n slok voor de hele fles vastte stellen. Bovendien is het resultaat eendui-dig: de fles heeft wel kurk of geen kurk. Eenbeetje kurk bestaat niet.Dat is anders wanneer we beton gaan keuren.Door de lichte lokale variaties in het beton,verkrijgen we bij metingen niet telkens pre-cies hetzelfde resultaat. Betekent dit dan datwe al het beton moeten keuren om ergenszeker van te zijn? In deze Betoniek laten wezien dat dat niet nodig is. Ook als we slechtseen deel van het beton beproeven, kunnenwe toch iets zeggen over de rest. We gaankeuren met kansrekening.Meten en meetfoutenBij keuren toetsen we een meetwaarde ofserie meetwaarden aan een afspraak, bijvoor-beeld `lichtbeton heeft een ovendroge volu-mieke massa van niet meer dan 2000 kg/m3'.Dat vereist dus dat we een meetwaarde heb-ben, een getal. Maar vertrouwen we zomaarelk getal? Stel, ik stap op de weegschaal enhet ding geeft een getal weer dat ik echt nietgeloof. Dan kunnen er twee oorzaken zijn: ofik ben toch ietsjes zwaarder dan ik dacht, ofde weegschaal meet verkeerd. Ik hoop na-tuurlijk dat laatste, maar hoe kom ik er nuachter welke van de twee waar is?KalibrerenBij meetresultaten wordt de juiste werking vanons meetapparaat vastgesteld via kalibratie.Kalibreren is het meten van een referentie3november 2013 standaard 16 I 06waarvan de waarde nauwkeurig bekend is. Inons geval van de weegschaal is dit bijvoorbeeldeen nauwkeurig bekende kilogram. Het stan-daardkilogram bestaat echt en wordt bewaardin Frankrijk. Geeft de weegschaal iets andersaan dan de verwachte kilogram, dan wordende afwijkingen vastgelegd in een correctieta-bel. Bij het meten van onbekende gewichtenkan via de correctietabel vervolgens een juistemeetwaarde bepaald worden. Soms kunnenwe de instellingen van het meetapparaat aan-passen, waardoor de correctie direct via hetapparaat verloopt.Soms is kalibratie wettelijk verplicht. In datgeval spreken we van ijking. Het betreft inbeginsel alle metingen waarbij het meetresul-taat maatgevend is voor een te betalen be-drag, zoals bij metingen in het handelsver-keer. IJken valt onder de Metrologiewet enmag alleen worden uitgevoerd door instel-lingen die daartoe door de overheid zijn aan-gewezen.Met dit alles waarborgen we dat we de meet-waarden van ons meettoestel kunnen vertrou-wen. We hebben dus nu een getal.Meetnauwkeurigheid`Mevrouw, mag het een onsje meer zijn?'Waarom hoor ik dit nooit in de betonfabriek?En wat bedoelt zo'n slager eigenlijk met eenonsje meer? Hoeveel is dat dan precies: ruim100 gram meer, bijna 150 gram, of ...? Al dezezaken hebben te maken met de nauwkeurig-heid van een meting. In het spraakgebruik valthet niet zo op, maar bij het noteren van eenwaarde wordt het verschil duidelijk. Zit er ineen zak cement nu 25 kg of 25,000 kg? Beidegetallen lijken hetzelfde, maar zijn het niet.1Het inschattenvan uitkomsten4 november 2013 standaard 16 I 06Het verschil zit in de aanname die we moetendoen over de nauwkeurigheid van de meet-waarde. De ongeschreven regel is dat de meet-nauwkeurigheid de helft is van het laatst geno-teerde decimaal. In het voorbeeld van decementzak staat dus eigenlijk 25 ? 0,5 kg en25,000 ? 0,0005 kg. In het tweede gevalweten we veel nauwkeuriger hoeveel we krij-gen. In het dagelijks gebruik is het benoemenvan dit soort nauwkeurigheden verloren ge-gaan, maar bij meetwaarden (en zeker in hethandelsverkeer waarbij per gewicht betaaldmoet worden) is het van wezenlijk belang ditwel juist te noteren. Overigens zit in een ce-mentzak 25,00 ? 0,15 kg cement (foto 3).MeetfoutenMogen we nu zomaar meer cijfers achter dekomma noteren om een nauwkeuriger waardete krijgen? Nee, helaas. Als we maar nauwkeu-rig genoeg zouden meten, dan blijkt dat zelfsbij herhaalde meting aan hetzelfde proefstukde meetwaarden niet precies gelijk zijn. Tijdenshet kalibratieproces kunnen we dit vaststellenH?t kilogramSinds 1901 is het kilogram de internationale standaardeenheid voor massa. Het kilogram bestaat echt en wordtbewaard op het Bureau International des Poids et Mesures in het Franse S?vres. Het is een metalen cilinder met eenhoogte en diameter van slechts 39,0 mm en wordt aangeduid als het Internationale Prototype Kilogram (IPK). HetIPK is in 1879 gemaakt door het bedrijf Johnson Matthey en offici?le kopie?n van het standaardkilogram zijn alsnationale prototypen beschikbaar. De huidige standaard van Nederland, kopie nummer 53, bevindt zich in het VSLDutch Metrology Institute te Delft. Een vorige massastandaard is te zien in het Rijksmuseum te Amsterdam.De massa van het IPK is geen constante waarde. Dit blijkt telkens als, ongeveer eens in de vijftig jaar, de verschillendenationale kopiestandaarden met elkaar vergeleken worden. Dooronder andere vervuiling worden de standaarden circa 1 ?g per jaarzwaarder. Om dit tegen te gaan, bestaan zelfs speciale schoonmaak-procedures. In 2007 ontdekten experts dat h?t IPK door onbekendeoorzaak 50 ?g aan gewicht had verloren ten opzichte van het ge-middelde van enkele tientallen kopie?n. Omdat dit betekent dat deinternationale standaard niet echt constant meer is, wordt er inter-nationaal momenteel druk gezocht naar een nieuwe kalibratiestan-daard voor het kilogram.2Het internationale prototype van het kilogram(90% Pt en 10% Ir)3Afvullen vancementzakken enverloop vulge-wichten (inzet)5november 2013 standaard 16 I 06door meerdere keren dezelfde referentie temeten. Hiermee kunnen we de zogenaamdemeetfout van het apparaat vaststellen. Waar demeetnauwkeurigheid gaat over het aantal cij-fers achter de komma, gaat de meetfout overhet aantal cijfers dat we van die nauwkeurig-heid kunnen gebruiken voor de meetwaarde.KeurenEen meetapparaat keurt niet. Een meetap-paraat geeft een meetwaarde met een meet-fout. Vervolgens keuren wij als persoon of demeetwaarde voldoet aan de norm, of aan eenandere afspraak die we hebben gemaakt. Bij??n meetwaarde is zo'n keuringstoets vrijoverzichtelijk. Maar wat als we een hele bergmeetwaarden hebben? Dan moeten we dezaken wat handiger aanpakken.Frequentieverdelingen ofhistogrammenWanneer er meerdere metingen gedaan wor-den, dan kunnen we die metingen ook inklassen gaan groeperen of turven. Met eenmooi woord noemen we dit frequentieverde-lingen of histogrammen maken. Neem hetvoorbeeld van kop of munt. Tellen we bij eenzuivere munt het aantal keren dat kop danwel munt gegooid wordt, dan zal na velemalen gooien blijken dat beide zijden onge-veer evenveel voorkomen. Maken we hetaantal mogelijkheden wat groter, bijvoor-beeld door te gooien met een dobbelsteen,dan zal ook bij een zuivere dobbelsteen blij-ken dat elk getal ongeveer evenveel voor-komt (fig. 4). Dit verandert wanneer we mettwee dobbelstenen gaan gooien en de uit-komsten van beide dobbelstenen bij elkaaroptellen. Als we hiervan een histogrammaken, dan heeft dit histogram de vorm vaneen glooiende berg of klokvorm (fig. 5). Wenoemen deze verdeling van meetwaardenook wel een normale verdeling of Gauss-functie, vernoemd naar de Duitse wiskundigeCarl Friedrich Gauss.012345678910frequentieklasse21,021,722,323,023,724,325,025,726,327,027,728,329,029,730,331,031,732,333,033,734,335,035,736,337,037,738,339,039,740,341,041,7meer6Histogram van eenproductiereeks van150 kubusdruk-sterkten in 64klassen0204060801001 2 3 4 5 6frequentieklasse0204060802 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12frequentieklasse4400x gooien met??n dobbelsteen5400x gooien mettwee dobbelstenen6 november 2013 standaard 16 I 06Klassen en klassebreedteIn de betonproductie meten we ter controleheel veel, met name druksterkten. In figuur 6is een reeks van 150 kubusdruksterkten weer-gegeven in histogramvorm. Hoewel het besteen imposante set metingen is, kunnen we uitde data niet echt de klokvorm afleiden die webij de druksterkte eigenlijk wel verwachten.Dit heeft te maken met een parameter waarwe nog niet over gesproken hebben: in hoe-veel klassen turven we eigenlijk? Als we name-lijk dezelfde set meetwaarden nemen, maarze nu slechts over twaalf klassen verdelen, danvolgt figuur 7, waar wel weer de benaderingvan een Gauss-functie overheen gelegd kanworden. Er is geen `beste' klasse-aantal, aan-gezien verschillende klassebreedten verschil-lende effecten van de data kunnen tonen.Liefst gebruiken we klassen van gelijkebreedte. Een veel gebruikte vuistregel is on-geveer n klassen te nemen, waarbij n hetaantal meetwaarden is.de Gauss-functieStel, we gooien met drie dobbelstenen 400keer en we turven de resultaten. Dan krijgenwe bijvoorbeeld een histogram zoals in figuur8. Gooien we nou geen 400 maar 40 000 keer,dan krijgen we bijvoorbeeld het histogramzoals weergegeven in figuur 9. In deze figurenis te zien dat we de resultaten ook kunnenbenaderen met een continue lijn. Daarnaastzien we dat we heel vaak moeten gooien ommet de resultaten steeds beter de rode lijn tebenaderen.De rode lijn in de figuur 8 en 9 is de Gauss-functie. Gauss was een wiskundige, en wis-kundigen vertalen de wereld in functies. Inzo'n functie bestaat een lijn uit een oneindigaantal puntjes. Om met werkelijke meetwaar-den al die puntjes af te dekken, zouden wedus eigenlijk een oneindig aantal keren moe-ten gooien. Dat is een beetje onzinnig en zogebruiken we functies ook niet.de kracht van GaussWe keren terug naar het beton. Stel, we heb-ben een truckmixer met 9 m3 beton. In theo-rie kunnen we hieruit ongeveer 2667 beton-kubussen halen. Als we die allemaal beproevenop kubusdruksterkte, weten we via het dob-belstenenvoorbeeld dat we de te verwachtenGauss-functie een heel eind kunnen benade-ren. Het is alleen zo jammer dat we door hetuitvoerig testen vervolgens geen beton meerover hebben om nog te kunnen bouwen. Datkan ook anders.De echte kracht van functies zoals die vanGauss blijkt als we de zaken omdraaien. Stel0510152025303540frequentieklasse20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40meer7Histogram van eenproductiereeks van150 kubusdruk-sterkten in 12klassen940 000x gooien metdrie dobbelstenen0102030405060703 4 5 6 7 8 9 101112131415161718frequentieklassegooienGauss-functie8400x gooien metdrie dobbelstenen01000200030004000500060003 4 5 6 7 8 9 101112131415161718frequentieklassegooienGauss-functie7november 2013 standaard 16 I 06nu dat we weten (of aannemen) dat de meet-waarden die we bekijken een Gauss-verdelingheeft, bijvoorbeeld de 2667 kubusdruksterk-ten. Dan blijkt dat we de hele berg aan meet-waarden kunnen beschrijven door aan tegeven waar het midden van de klokvorm zichbevindt en hoe breed de klokvorm is.De Gauss-functie is een wiskundige formule,dus we gebruiken niet `het midden van deklokvorm', maar dit is gewoon het gemid-delde van de meetwaarden (?). Ook de`breedte van de klokvorm' heeft een wiskun-dige uitdrukking: de standaardafwijking ().Beide waarden zijn eenvoudig te bepalen metExcel of met een goede rekenmachine.Om te illustreren wat we net beschreven heb-ben, zijn in figuur 10 twee Gauss-functies gete-kend. We bespreken eerst de rode functie. Hetmidden van de klokvorm ligt altijd bij ?, hetgemiddelde. Op de x-as is nu een maatverde-ling gegeven in stappen van de standaardafwij-king, . Elke Gauss-functie kan op deze manierbeschreven worden en ziet er dan hetzelfde uit.Wanneer de standaardafwijking groter wordt,zal de top van de klok zakken en de klokvormbreder worden. Een grotere standaardafwijkinggeeft meer afstand tot het gemiddelde. In defiguur is dit met de blauwe lijn aangegeven.Verder is in figuur 10 een oranje gebied aange-geven tussen -1 en +1 . 68 procent van allemeetwaarden valt in dit gebied.KansenWanneer we meer dan ??n meetwaarde heb-ben om te keuren ? bijvoorbeeld wanneer we2667 kubusdruksterkten hebben bepaald ?dan bestaat de kans dat een deel van demeetwaarden wel en een deel van de meet-waarden niet voldoet. Wat doen we dan? Wekunnen gaan werken met kansen. Bij kubus-druksterkte zijn hier via consumenten- enproducentenrisico hele duidelijke afsprakenvoor gemaakt. Bij andere onderdelen zoalsdekkingen, ontbreken dergelijke afspraken.We bespreken hier verder hoe Gauss ook opdit punt kan helpen.10Invloed vanstandaardafwijkingop de vorm vanGauss-functie?3 ?2 ?1 0 1 2 3oranje oppervlak bevat 68%van de meetwaardenvorm bijstandaardafwijking23vorm bij standaardafwijkinggemiddelde ( )8 november 2013 standaard 16 I 06Kansen volgens GaussVan de Gauss-curve weten we tot nu toe ei-genlijk alleen dat we die kunnen beschrijvenvia het gemiddelde en de standaardafwijking.Maar wat vertelt de Gauss-curve ons in feite?We hebben al gezien dat de Gauss-functie hethistogram van de meetwaarden benadert. Bijeen oneindig aantal metingen betekent dit,dat het oppervlak onder de Gauss-functie 100procent van alle meetwaarden bevat. En datbetekent vervolgens dat we via het oppervlakonder de Gauss-functie afspraken kunnenmaken over wat we van de meetwaarden nogaccepteren.Bovenstaande klinkt misschien nieuw, maarvelen van ons gebruiken het in de dagelijksepraktijk bij het keuren van de karakteristiekebetonkubusdruksterkte op 28 dagen van een`vervolgproductie': . Herkent udeze formulering als een waarde op de x-asvan de Gauss-functie in figuur 10? Via de x-askunnen we dus grenswaarden aangeven vooronze keuringen. Geven we twee grenswaar-den aan, dan vertelt de Gauss-functie hoeveelprocent van de meetwaarden in het gebiedtussen deze twee grenswaarden valt.representatieve steekproefWat betekent het voorgaande voor de prak-tijk? Inmiddels weten we dat we een Gauss-functie kunnen beschrijven met een gemid-delde en een standaardafwijking. We blijvenbij het voorbeeld van de truckmixer met 9 m3beton. Als we op basis van een steekproef hetgemiddelde en de standaarddeviatie bepalen,dan hoeven we niet al het beton te beproe-ven. We gebruiken de steekproef dan om viaGauss voorspellingen te doen over de rest vanhet beton waarmee we willen bouwen.Natuurlijk is het hierbij wel noodzakelijk datde steekproef ? de proefstukken die we be-proeven om het gemiddelde en de standaard-afwijking te bepalen ? representatief is voorhet totaal dat we willen voorspellen. Als webijvoorbeeld iets willen zeggen over de kor-relgrootteverdeling van het grove toeslagma-11Invloed van desteekproefgrootte?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 6oranje oppervlak bevat 50%van de meetwaardenideale Gauss-functie(n = `)gecorrigeerdeGauss-functie(n = 2)gemiddelde ( )9november 2013 standaard 16 I 06teriaal en we verzamelen daarbij alleen rondekiezels met een diameter kleiner dan 2 cm,dan zullen we nooit een juiste voorspellingkunnen maken op basis van de steekproef-data. Vandaar dat in veel normen ook zo veelaandacht wordt besteed aan het beschrijvenvan het nemen van een representatieve steek-proef.Invloed van de steekproefgrootte opGaussDe Gauss-functie zoals we die tot nu toe be-sproken hebben, gaat uit van een oneindigaantal metingen. Met de introductie van desteekproef gaan we van veel metingen naarminder metingen (we willen immers iets over-houden om mee te bouwen). Is dat niet integenspraak met elkaar? Ja, want het is nueenmaal een feit dat met meer metingen eenbetere voorspelling van het restant kan wor-den gemaakt.Gelukkig komt ook hier de wiskunde ons tehulp. Met gecorrigeerde Gauss-functies kande invloed van de grootte van de steekproefworden meegenomen in het resultaat. Hetgaat te ver om deze functies hier te bespre-ken, maar de principes zijn gebaseerd op devolgende redenering: minder metingen bete-kent een grotere onzekerheid, betekent eengrotere afstand tot het gemiddelde in de ge-corrigeerde Gauss-functie.Om dit te illustreren is figuur 11 gemaakt.Hierin is de ideale Gauss-functie (n = `) ver-geleken met de gecorrigeerde Gauss-functievoor een steekproefgrootte van twee (n = 2).Twee is het kleinste aantal metingen waaropwe een Gauss-functie kunnen baseren. Bijminder metingen is het niet mogelijk eengemiddelde en een standaardafwijking tebepalen. In het gebied tussen -1 en +1 bevindt zich nu nog maar 50 procent van demeetwaarden. Een heel verschil met de 68procent van figuur 10.Gauss in de praktijkWe hebben in deze Betoniek heel wat theoriebehandeld, maar wat kunnen we daar numee? Dat wordt duidelijk aan de hand vaneen aantal praktijkvoorbeelden. In het laatstedeel van deze Betoniek zijn daarom enkelevoorbeelden uitgewerkt.Voorbeeld 1Keuren betondruksterkte (1)Het beton dat we maken wordt geclassifi-ceerd in karakteristieke druksterkteklassen. Infiguur 12 is een overzicht gegeven van deanalyse van 150 kubusdruksterkten, verkre-gen onder controleproef-omstandigheden.Wanneer de karakteristieke sterkte van betonwordt gedefinieerd als de sterkte waarboven95 procent van alle meetwaarden valt, danselecteren we als gebied van 5 tot 100 pro-cent (de gele vakjes in figuur 12). De linkergrens van 5 procent ligt in dat geval bij 25,6MPa. 95 procent van de meetwaarden ligtdus boven deze waarde. Daarmee zou ditbeton een C20/25 kunnen zijn.FormulesIn deze Betoniek wordt gerekend met ge-middelde en standaardafwijking van eensteekproef met n meetwaarden (x1, ..., xn).De gebruikte definities zijn dan als volgt:Gemiddelde:n1iin1n \==/Excel 2010: AVERAGE(x1:xn)Standaardafwijking:n 11iin21v \ n=--=^ h/Excel 2010: STDEV.S (x1:xn)10 november 2013 standaard 16 I 06Voorbeeld 2Keuren betondruksterkte (2)Wanneer we als keuringscrite-rium aanhouden, dan ligt de grenswaardestrikt genomen, bij 8,1 procent in plaatsvan 5,0 procent. Dit komt door de afge-sproken waarde van 1,48 waarin het pro-ducenten-consumentenrisico zit verwerkten door het feit dat we slechts 15 kubussenbeproeven. Bij toepassing van het Excel-programma voor het keuren van de karak-teristieke druksterkte op 28 dagen vooreen serie van 15 kubussen wordt de linker-grens dan dus 8,1%.In voorbeeld 2 wordt gekeken of beton vol-doet aan sterkteklasse C30/37. Hiertoe wor-den 15 kubusdruksterkten geanalyseerd(fig. 13). Uit de meetwaarden volgt een hooggemiddelde (44,69 MPa) en een hele kleinestandaardafwijking (2,02 MPa). Dat betekentdat 92 procent van de meetwaarden bovende 41,7 MPa ligt. Het voldoet dus ruim aan desterkteklasse-eis.Voorbeeld 3dekking op de wapening (1)We kennen de kansrekening en het keurenvan de betondruksterkte. Maar er zijn veelmeer meetwaarden van beton, die met eenGauss-verdeling zijn te beschrijven. Daaromkijken we in dit voorbeeld eens naar dekkings-metingen. We analyseren 46 dekkingsmetin-gen op beton uit hetzelfde vlak, waarbij dewapening volgens het ontwerp op 40 mmzou moeten liggen. Zoals uit figuur 14 en 15Aantal metingen 15Gemiddelde 44,69standaardafwijking 2,02Gebiedsgrens links (min.) 8,1%Gebiedsgrens rechts (max.) 100%Waarde bij gekozen grens links: 41,7Waarde bij gekozen grens rechts: 54,813Voorbeeld 2:analyse van 15betonkubussen12Data uitvoorbeeld 1;schermafdrukExcel-bestand`Keuren metKansen'11november 2013 standaard 16 I 06volgt, ligt het gemiddelde daar net ietsboven, maar dat geldt niet voor alle meet-waarden. 20 procent van de wapening blijktonder de ontwerpeis van 40 mm te liggen.Voorbeeld 4dekking op de wapening (2)In het laatste voorbeeld analyseren we 62dekkingsmetingen. Dit keer is de ontwerpdek-king 50 mm. Opnieuw blijkt dat de wapeningdaar gemiddeld aan voldoet (fig. 16 en 17),maar is dat ook wat er wordt bedoeld bij eenontwerpdekking van 50 mm? Bijna 50 pro-cent van de wapening ligt onder de ontwerp-dekking.Er is nog meer aan de hand met deze meet-waarden en daarvoor moeten we naar defrequentiegrafiek boven de Gauss-functie kij-ken. Daar zijn niet ??n maar twee piekenzichtbaar. Wanneer een nadere analyse wordtuitgevoerd, blijken hier twee groepen meet-waarden door elkaar te lopen. De wapeningzit om en om op gemiddeld 48 mm en ge-middeld 54 mm dekking. Dit wordt veroor-zaakt doordat verschillende wapeningsdiame-ters om en om aan dezelfde langswapeningvastzitten. Hieruit kunnen we twee conclusiestrekken: 1) de buitenste wapening ligt onderde ontwerpdekking, en 2) we kunnen onsGauss-programma hier niet op loslaten,omdat het om twee afzonderlijke groepenmeetwaarden gaat!15Voorbeeld 3:80 procent van dewapening ligt bovende ontwerpeis van40 mm17Voorbeeld 4:analyse van tweegroepen wapeningAantal metingen 46Gemiddelde 41,13standaardafwijking 1,38Gebiedsgrens links (min.) 20,0%Gebiedsgrens rechts (max.) 100%Waarde bij gekozen grens links: 40,0Waarde bij gekozen grens rechts: 46,7Aantal metingen 62Gemiddelde 50,11standaardafwijking 3,19Gebiedsgrens links (min.) 49,0%Gebiedsgrens rechts (max.) 100%Waarde bij gekozen grens links: 50,0Waarde bij gekozen grens rechts: 62,814Voorbeeld 3:analyse van 46dekkingsmetingen16Voorbeeld 4:analyse van 62dekkingsmetingen35,00 37,00 39,00 41,00 43,00 45,00 47,00oranje oppervlakbevat 80% vande meetwaarden38,00 43,00 48,00 53,00 58,002015105045,0046,5748,1449,7151,2952,8654,43meerklassefrequentie12 november 2013 standaard 16 I 06tot slotIn deze Betoniek hebben we uitgebreid stilge-staan bij meten en meetwaarden. We hebbenlaten zien dat een normaal verdeelde bergmeetwaarden kan worden beschreven meteen Gaus-functie. Door de zaak om tedraaien, hebben we laten zien dat we viaGauss, enkel op basis van een gemiddelde eneen standaarddeviatie, een hele berg datakunnen voorspellen. Nu hoeven we niet meeralle beton te keuren, maar kunnen we vol-staan met een representatieve steekproef. Datscheelt een slok op een borrel.Vervolgens hebben we laten zien dat metGauss kan worden aangegeven in welk ge-deelte van de meetwaarden interesse is. Doorgrenzen te stellen of op te zoeken, zien wewelke percentages van het beton voldoen aanonze wensen. Natuurlijk wisten we dat alle-maal al voor druksterkten, maar misschienkan deze Betoniek een aanleiding zijn om ookeens in andere gebieden te gaan keuren metkansen volgens Gauss. Daar toosten we op.download Excel-programmaOp www.betoniek.nl is een Excel-programma `Keuren met kansen' te downloaden, waarmeeu de voorbeelden uit dit artikel kunt narekenen. De data uit de voorbeelden zijn in het pro-gramma opgenomen. Natuurlijk kunt u op het programma ook eigen data toepassen, mits hetom data met een Gauss-verdeling gaat.Meer achtergrondinformatie voor abonneesIn oktober is de eerste editie van Betoniek Vakblad verschenen.In dit nieuwe magazine meer aandacht voor betonuitvoering enmeer ruimte voor nieuwe ontwikkelingen, onderzoek, regelgeving,onderwijs, en persoonlijke visies en meningen. Kortom, een veelheidaan informatie die u kan helpen bij het nog beter uitoefenen van uwvak. Het nieuwe Vakblad wordt onderdeel van het bestaandeBetoniekabonnement. Met dit abonnement ontvangt u 4x BetoniekStandaard, 4x Betoniek Vakblad en heeft u toegang tot het completeonline archief. Kijk voor meer informatie op www.betoniek.nl/vakblad.v o o r t e c h n o l o g i e e n u i t v o e r i n g v a n b e t o noktober 2013 I 1Vormgeving,techniek?n onderhoudSchuimbeton toegepast in aanbruggen nieuwestadsbrug NijmegenIndrukwekkend materieelPompen naar grote hoogteGevolgen CPR voor betonExamen BOKBetoniek-vakblad-cv.indd 1 26-09-13 17:41Uitgave?neas, uitgeverij van vakinformatie bvDr. van Helvoortstraat 3, 5281 BJ BoxtelT: 0411 65 00 85, E: info@aeneas.nlWebsite www.betoniek.nlredactie T: 0411 65 35 84E: betoniek@aeneas.nlVormgeving Inpladi bv, Cuijkadvertentieverkoop Bureau Van Vliet,Frank Oudman, T: 023 571 47 45,E: f.oudman@BureauVanVliet.comabonnementen/adreswijzigingen?neas, Dr. van Helvoortstraat 3, 5281 BJBoxtel, T: 0411 65 00 85,E: abonnementen@aeneas.nlabonnementen 2013Jaarabonnement, inclusief toegang onlinearchief: 87,50 (excl. btw)Buiten Nederland geldt een toeslag voorextra porto. Abonnementen lopen per jaaren kunnen elk gewenst moment ingaan.Opzeggen moet altijd schriftelijk gebeu-ren, uiterlijk twee maanden voor vervalda-tum. Kijk voor de mogelijkheden van on-line abonnementen op www.betoniek.nl.? ?neas, uitgeverij van vakinformatie 2013.Betoniek wordt tevens elektronisch opge-slagen en ge?xploiteerd. Alle auteurs vantekstbijdragen in de vorm van artikelenof ingezonden brieven en/of makers vanbeeldmateriaal worden geacht daarvan opde hoogte te zijn en daarmee in te stem-men, e.e.a. overeenkomstig de publicatie-en/of inkoopvoorwaarden. Deze liggen bijde redactie ter inzage en zijn op te vragen.Hoewel de grootst mogelijke zorg wordtbesteed aan de inhoud van het blad, zijnredactie en uitgever van Betoniek niet aan-sprakelijk voor de gevolgen, van welke aardook, van handelingen en/of beslissingen ge-baseerd op de informatie in deze uitgave.Niet altijd kunnen rechthebbenden van ge-bruikt beeldmateriaal worden achterhaald.Belanghebbenden kunnen contact opne-men met de uitgever.Betoniek Standaard is onderdeel van het Betoniek Platform, h?t kennisplatform over technologieen uitvoering van beton. Betoniek Standaard verschijnt 4x per jaar en is een uitgave van ?neas,uitgeverij van vakinformatie bv, in opdracht van het Cement&BetonCentrum. In de redactiezijn vertegenwoordigd: BAM Infra, BTE Nederland, ENCI, Mebin en TNO. Voor de jaarlijkse af-levering over het Examen Betontechnoloog BV wordt samengewerkt met de Betonvereniging.