Een maandelijkse uitgave van deNederlandse Cementindustriecorrespondentie-adrespostbus 3011, 5203 DA 's-Hertogenboschtelefoon 073-150150 (abonnementen 150231)ISSN 0166-137xnovember-december 1981 LOMGrafieken (I)Er zal de afgelopen zomer waarschijnlijk weerheel wat op de thermometer zijn gekeken. Meteen goede kans op het volgende beeld (fig. 1):oe4030vanaf het eerste nummer dienst gedaan om detechnologie te verduidelijken. En dan spreken weer nog niet eens over dat, ondanks alle moderneelektronische alternatieven een goed gecon-strueerde grafiek vaak een verrassend efficiëntmiddel blijkt te zijn om ingewikkeldeverbanden'doorzichtig' te maken.Wat is een grafiek?Meteen duikt dan de vraag op of het voorbeeldwel zo geslaagd is. Wat heeft figuur 1 met.eengrafiek te maken? Daarbij denk je toch meestalaan twee assen>Joodrecht op elkaar, elk voorzienvan een schaalverdeling. In het vlak tussen beideassen worden de meetresultaten aangegeven,meestal in de vorm van een of meer rechte ofkromme lijnen, maar ook wel als een puntenwolk.Een voorbetontechnologen zeer bekend voor-beeld is het volgende (fig. 2):2010Figuur 1Misschien voor sommigen een wat wrangeherinnering, maar daarnaast toch ook een goedvoorbeeld van de allereenvoudigste vorm van eengrafiek. En overgrafieken willen wehet deze keerhebben. Hetonderwerp lijkt misschien wat buitenhet normale bestek van BETONlEKte liggen,maar aan de andere kant hebben grafieken toch.560t 50I4030Figuur 20,4 0,58A0,6 0.7J1gebogen schalen met een afnemende afstandtussen de deelstrepen.Het is overigens helemaal niet noodzakelijk dateen schaal op regelmatige manier is gevormd ofzelfs maar in een plat vlak ligt. Een voorbeeld vaneen zich in allerlei richtingen kronkelende schaalvormen de kilometerpaaltjes langs een bergweg.De lineaire schaal hebben we al ontmoet bij dethermometer, de klok en vermomd als kilometer-paaltjes. In principe kan de schaal lopen van 00tot + 00, (00 ishetteken voor 'oneindig'), maardeze waarden zelf kunnen niet op de schaalworden aangegeven. Kenmerkend is verder dateen schaaleenheid op elke plaats van de schaaldezelfde lengte heeft. De schaal hoeft echter nietElk punt van een schaal stelt over het algemeeneen bepaalde waarde voor. Natuurlijk kunnenniet al die waarden langs de as worden aan-gegeven. Men beperkt zich tot ronde getallen.Hun exacte plaats op de schaal wordt doorstreepjes aangegeven.De ruimte tussen twee van die deelstrepen wordtdikwijls verder verdeeld in 2, 5 of 10 stukjes, diedoor wat kortere streepjes worden gemarkeerd.Daardoor kunnen tussenliggende waardenredelijk nauwkeurig worden geschat. Niet altijdzijn de afstanden tussen twee opeenvolgendedeelstrepen over de hele lengte van een schaalconstant. Hieronder volgen enkele voorbeeldenvan diverse schalen.Het is echter verstandig om de zaak toch watruimer te bekijken. Laten we er daarom voorlopigvanuit gaan dat een grafiek een handige tekeningis, die meetgegevens overzichtelijk en min ofmeer nauwkeurig weergeeft.Wat dat betreft voldoet figuur 1aan alle eisen. Inéén oogopslag is te zien dat de temperatuur ophet moment van aflezen 17 graden was. Dat degrafiek maar één as heeft in plaats van degebruikelijke twee mag geen bezwaarzijn. Er zijnook wel grafieken met drie of meer assen. Deeenassige grafiek is gewoon de meest simpeleuitvoering. Het is daarmee ook de basis van alleandere, meer ingewikkelde vormen. Het is dus demoeite waard om eerst deze basisvorm wat naderte bekijken.SchalenZo'n losse as wordt ook wel schaal genoemd; hetwoord schaalverdeling is er van afgeleid.Vaakbedoelt men met het woord schaal trouwens as +schaalverdeling + aangegeven getalswaarden. Iseen schaal de simpelste vorm vaneen grafiek,een thermometer is op zijn beurt weer voorzienvan de meest simpele vorm vaneen schaal. De asis rechtlijnig, eris maar één sChaalverdelingaanwezig en de afstand tussen twee deel-streepjes is evenredig met het verschil tussen dedoor deze streepjes aangegeven waarden. Wespreken over een rechtlijnige schaal met eenenkelvoudige, lineaire schaalverdeling.In het dagelijkse leven komen veel van die losseschalen voor, soms even simpel als die van dethermometer, soms vrij ingewikkeld. Om nog watmin of meer huiselijke voorbeelden te geven: dewijzerplaat van een klok is een ronde schaal mettwee lineaire schaalverdelingen, de een voor deuren, de andervoor minuten en seconden. Begin-en eindpunten van beide schalen vallen samen.Een brievenweger heeft meestal een of twee2Enkele voorbeeldenLineaire schaal (fig. 3).I I I i I I I I i I Io 20 40 60lineaire schaalFÎguur3i I j I I80 100Logaritmische schaal (fig. 4)Wortelschaal (fig. 5)beslist recht te zijn; denk maar aan de klok. Delineaire schaal vormt de basis van allerlei andere,elk voor zich voor een bepaald doel meergeschikte schalen. In een volgendeaflevering vanBETONlEKzuIlen we nagaan hoe een keuzewordtgemaakt en hoe zo'n niet-lineaire schaalwordt geconstrueerd. Hieronder volgen als voor-beeld alvast enkele veelgebruikte types. Om eengoede vérgelijking mogelijk te maken lopen zeallemaal van 0 tot 100 of, als dat niet mogelijk is,van 1tot 100.De schaallengte isvoor alle schalensteeds even grootgekozen.De logaritmische schaal heeft een afnemendeafstand tssen de maateenheden. Er komt echterwel een bepaald patroon in voor: de verdeling van1-10 komt exact overeen met de verdeling van10-100 (zie figuur 4), maar ook met die vanbijvoorbeeld 0,01-0,1 of 10000-100000. De loga-ritmische schaal geeft daardoor kleine waardenveel nauwkeuriger weer dan grote waarden; deafleesfout is, om preciestezijn, evenredig metdeweergegeven waarde.De logaritmische schaal is daardoor bijzondergeschikt voor het weergeven van resultaten,waarvan de toevallige fout evenredig is met demeetwaarde, of waarvan met andere woorden devariatiecoëfficiënt constant is.Net als de lineaire schaal kan de logaritmischeschaal naar links en naarrechts onbeperktworden uitgebreid. De waarde 0 komt op deschaal echter niet voor, ook al worden de aan-gegeven waarden bij elke herhaling naar links welsteeds een factor 10 kleiner.De reciproke schaal ontstaat uit een lineaireschap.1 door van elke waarde het omgekeerde tenemen; 0,1 wordt dus 10, 100 wordt 0,01, 0 wordt00, en 00 wordt O. Alleen de waarde 1 blijftongewijzigd. Hoe lager de schaalwaarde, hoemeer ruimte er voor op de schaal beschikbaar is.De waarde 0 komt daardoor oneindig ver naarlinks te liggen en kan nietmeer op de schaalworden aangegeven (dus net als bij delogaritmische schaal).Tegenover de soms extreme verlenging aan delinkerkant van de schaal staat een overeen-komstige verkorting van de rechterkant. Hierdooris voor de waarde + oe wel plaats. Zoals figuur 6aangeeft ligt deze waarde zelfs direct naast dewaarde 100. Het kleine stukje schaal tussen 100en 00 bevat dus alle tussenliggende meet-waarden!Bij het beoordelen van al deze verkortingen enverlengingen moet wel het meetgebied mee inbeschouwing worden genomen. Een grootheiddie nogal eens door een reciproke schaal wordtweergegeven is de water-cementfactor. In depraktijk varieert deze factor van ongeveerO,45 totzeg 0,65. Wanneer we dit meetgebied weer overde tot nu toe gebruikte schaallengte reciprookuitzetten ontstaat figuur 7. Uit vergelijking van dé'schaallengte 0,45-0,55 met de lengte 0,55-0,65blijkt dat er nog steeds een zekere verlenging isvan het linkerdeelvan de schaal ten koste van eenovereenkomstige verkorting van het rechterdeel,maar lang niet zo sterk als in figuur 6.Aangezien de wortel van een negatief getal nietisgedefinieerd, is 0 de laagst mogelijke schaal-waarde.Figuur 6Reciproke schaal (fig. 6)1 1 I I I I I , , i 1 ' , i 'I i 1'I i 1111 ,b l11,11,21,5 2 34510100reciproke schaal-1I 1 I I'" 'I20 30 40 50 100i 1 I I I i i i 'I2 3 45 10tGgaritmische schaalFiguur 41 'I' ii I Io 1 5 10wortelsthaalI 1 I I 1 11 1120 30 40 50 60 70 80 100I i· l i l I i I j j 1 1 I 1 11 i lil0,45 0,50 0,55 0,60 0,65reciproke schaal -2Figuur 5 Figuur 7Net als bij de logaritmische schaal neemt bij dewortelschaal de afstand tussen de maateenhedenvoortdurend af, maar wel veel minder sterk. Hetverschil tussen beide is goed te zien bij hetvergelijken van figuur 4 en 5. Bij de wortelschaalis het begin minder uitgerekt, het eind mindersamengedrongen. Dit feit komt ook tot uiting inde bekende beelden van zeefanalyses van toe-slagmateriaal. De lijn die de korrelverdelingaangeeft is bij een lineaire schaal van de zeef-openingen bol, bij de wortelschaal bij eengoede gradering recht, en bij de logaritmischeschaal hol.Normaal verdeelde schaal (fig. 8)_3 _2 -1 0 1 3I I 1 I 1I1 , i I1 1 1 I, I , I1 I 1 I0.1 1 5 10 50 90 95 99 99,9normale verdelingFiguurBDeze schaal is gebaseerd op statistisch geziennormaal verdeelde meetresultaten met eengemiddelde waarde J.l = 0 en een standaard-afwijking cr = 1.3+--'-- BINlmm')--50 45 40'I",",-I-"J..I-+-+-+/-I I I "1 1, "q45 0,50 0,55- - wet )35I ! I I I(j I 1 Ii I0,60 0,65Figuur 945 klasse! ! I I !40" "j \,1 t ,., 845 40 35I I J . ! ! !. I I I A'·1 1 1 I l I j II1 1Q50 Q55 0,60 0,65- - wcf JJH_fkLDFJ55 50I I I I I I60I ,I '55I.! ,II '50I II 'Q45Figuur 10In het bovendeel van figuur 8 zijn de mogelijkewaarden van deze meetresultaten op een lineaireschaal weergegeven. Op dezelfde as is nu ~~gegeven welkpercentage van de meetresultatenkleiner zal zijn dan de op de overeenkomstigeplaats op de lineaire as vermelde waarden. Dezepercentages blijken symmetrisch te zijn verdeeldrond de waarde 50%, overeenkomende met eenmeetwaarde 0, dus rnet het gemiddelde van allemeetresultaten.Tussen de 20 en 80% liggen de waarden van deonderste schaal nog vrij dicht bij elkaar, maardaarbuiten neemt elk extra % steeds meer plaatsin. Boven de waarde 5% lezen we af -1,65; hetzijn de bekende twee aan het s_'karakteristieke sterkte' verbonden getallen.De schaal wordt meestal met de niet heiernaaijuiste naam waarschijnlijkheidsschaal aangeduiden wordt onder andere gebruikt om na te gaan ofeen hoeveelheid meetresultaten min of meernormaal is verdeeld en ook wel om gemiddeldeen standaardafwijking te schatten. Dat laatstekan echter snelter en nauwkeuriger doorberekening gebeuren. Grafiekenpapier met opéén as zo'n normale verdeling wordt ook welrneetpapier genoemd.Twee schalen op een asOp een schaal stelt elk punt een bepaalde meet-waarde voor. Dat betekent dat een enkele schaalnogal beperkt is in zijn weergavevermogen.Figuur 1 geeft nu toevallig de waarde 17°C aan.Voor andere temperaturen is er daarna meteengeen plaats meer; voor elke nieuwe waarnemingmoet weer een nieuwe plaatje worden getekend.In de praktijk lost men datop door de therrno-meter (net als vele andere meetinstrumenten) opverschillende momenten af te lezen en het meet-resultaat ineen tabel of in een grafiek met meermogelijkheden vast te leggen.Het gebruik van twee schalen geeft al direct eenflinke verruiming van dat weergaveverrnogen. Erzijn daarbij twee principieel verschillendemanieren om beide assen te plaatsen: op een lijnof in een vlak. Plaatsing in een vlak is hetbekendste; de twee assen worden dan meestalloodrecht op elkaar geplaatst; zie opnieuw figuur2. Het is echter niet de meest praktischemethodiek; dat is plaatsing van beide schalenlangs een en dezelfde lijn.Hun assen vallen dandus samen.We hadden al een voorbeeld: de klok (met vaakzelfs drie schalen: de minuten- en deschaal vallen samen). Het meetprincipe van deklok is bijzonder interessant. We kunnen er hierhelaas niet verder op ingaan, maar het is demoeite waard om eens na te denken over hetverschil (en de overeenkomst) tusseneen klok eneen zonnewijzer.Een ander, ook wat andersoortig voorbeeld vaneen as met meerdere schalen levert weer dethermometer. Hoewel graden Fahrenheit wat uitde mode raakt, kent iedereen nog wel deuitvoering met de C- en de F-schaal. Op zo'nthermometer kan per keer nog steeds maar eentemperatuur worden gemeten; men heeft nuechter de keus uit tweeverschillende maat-eenheden.Er zijn vele andere voorbeelden: een duimstokmet keus uit een schaal in millimeters en een inzestiende inches; een barometer, met een schaalin mm kwik of rnillibaren, en een schaal met'veranderlijk', 'bestendig' etc.; een fototoestel,met een gevoeligheidsschaal in A8Aen DIN enz.Wat is het nut nu van zo'n dubbele schaal, als ertoch maar plaats is voor één meetresultaaten datresultaat er niet, zoals bij de klok nauwkeurigermee kan worden aangegeven? Figuur 9 geeftdaar antwoord op.4LoBI506065 00 55 50 4540:t NN50I30 45 B4020 wc!0,45 0,50 0,55 0,60 0,650,45 (),50 0,55 0,00 0,65--wcf-+Figuur 11 Figuur 12We zien weer een dubbele schaal; aan de enezijde worden water-cementfactoren Wvanbetonspecies aangegeven, aan de andere zijdede te verwachten controleproefresultaten B bijgebruik van cement klasse A. Het verband tussenbeide grootheden kennen we uilde formuleB = 0,8N + 25/W - 45. Voor A-cement met eennormsterkte van zeg 50 N/mm2 wordt dit:B = 25/W - 5; volgens deze formule is figuur 9geconstrueerd. Het is trouwens hetzelfdeverband als in figuur 2wordt aangegeven door deA-lijn.Het is interessant om de figuren 2 en 9 te verge-lijken, bijvoorbeeld door in beide op te zoekenwelke betonsterkte kan worden verwacht bij eenwater-cementfactor van 0,55. In figuur 9 is hetgauw bekeken: tegenover de waarde 0,55 lezenwe direct af dat ruim 40 N/mm2 mag wordenverwacht. In figuur 2 gaat het moeizamer. Bij dewaarde 0,55 op de horizontale as moeten weverticaal omhoog, tot de lijn van het A-cementwordt bereikt, vervolgens horizontaal naar linkstot de verticale as, waar dan als alles goed isuitgevoerd een betonsterkte van circa 37 N/mm2wordt afgelezen.Het gaat nu niet om het verschil tussen beideuitkomsten; in het CB-1 boek is veiligheidshalvevan een wat lagere normsterkte uitgegaan.Belangrijker is, dat figuur 9 veel gemakkelijker iste hanteren. Ook figuur 8 kan op deze manierworden gebruikt. Deze simpele figuur bevat allegegevens van een tabel van een normaleverdeling en is in de praktijk een zeer handigevervanging van zo'n tabel.Drie variabelenIn figuur 9 kunnen we uitgaan van een bepaaldewater-cementfactor, waaruit dan direct de teverwachten betonsterkte volgt, maar we kunnenook uitgaan van een bepaalde gewenste beton-sterkte en dan de daarvoor benodigde water-cementfactor aflezen. Iets dergelijks geldt voorfiguur 8.Er zijn in deze en overeenkomstige gevallen tweevariabelen waarvan naar keuze één alsonafhankelijk variabele en de ander als afhanke-lijk variabele wordt gekozen. In het geval van drievariabelen kunnen in het algemeen twee ervan,bijvoorbeeld water-cert,entfactor en cement-klasse, vrij worden gekozen. De derde, bijvoor-beeld de te verwachten betonsterkte, ligt danvast.In zo'n geval biedt een enkele as niet genoegplaats meer en moeten we een andere oplossingzoeken. Dat kan door twee assen loodrecht opelkaar te zetten; het is de traditionele oplossingdie in figuur 2 was gekozen. Het is nog steeds nietde meest praktische oplossing. In figuur 10 isdezelfde informatie opgeslagen in drie even-wijdige assen, één voor elke cementklasse en elkgeconstrueerd overeenkomstig figuur 9. Op elkeas zou zowel de water-cementfactor als desterkte met hun getalswaarde kunnen wordenaangegeven, maar dat staat wat rommelig.Daarom zijn de waarden van de water-cementfactor alleen op de onderste schaalaangegeven, enis op de twee andere schalenvolstaan met het aanhalen van die schaal-verdeling. Die verdelingen liggen dus loodrechtboven elkaar.Eigenlijk is het voorbeeld niet helemaal eerlijk.Als derde variabele is de cementklasse gekozenen dat is niet een continu variabele zoals dewater-cementfactor of de betonsterkte. Hoe is desituatie wanneer alle drie de variabelen continukunnen variëren?Drie continu variabelenWe hebben een goed voorbeeld wanneer we5cementklasse vervangen door normsterkte. Derelatie blijft hetzelfde, maar in plaats vanA-cement kunnen we nu watgenuanceerderkiezen voor bijvoorbeeld 45 of 48 of 50 N/mm2.Er zijn nu opnieuw twee mogelijkheden. Wekunnen een grafiek tekenen overeenkomstigfiguur 2, met nu niet lijnen voor cementklassemaar voor normsterkte. Figuur 11 geeft eenbeeld.Voortbouwendop het idee van losse, evenwijdigeassen zijn er echter ook nu meer praktischemogelijkheden. Figuur 12toontereen. Erzijn drieevenwijdige assen, een voor de normsterkte N, .een voor de betonsterkte B en een voor de water-cementfactor. Wanneer we nu twee willekeurigegegevens als uitgangspunt nemen, bijvoorbeeldeen normsterkte N = 48 N/mm2 en een gewenstebetonsterkte B = 40 N/rnm2 dan vinden we devereiste water-cementfactor door de punten 48en 40 van de bovenste twee schalen te verbindendooreen rechte lijn en te kijken waar deze lijn dewcf-as snijdt. Dat blijkt 0,535 op te leveren.We kunnen ook uitgaan van een bepaalde water-cementfactor, bijvoorbeeld 0,65, en eengewenste betonsterkte, bijvoorbeeld 42 N/mm2·We leggen een liniaal langs de betreffendepunten en lezen op de N-schaal afdat de vereistenormsterkte 61 N/mrn2 bedraagt. Er zal dus eenC-cement voor deze toepassing moeten wordengebruikt.Op de Iconstructie van zulke grafieken gaan we,zoals gezegd in deze aflevering van BETON/EKnog nietin. Het ging onser nu omhoeg rafiekener uitzien, en hoe er mee moet wordenomgegaan.