Een maandelijkse uitgave van deNederlandse Cementindustriecorrespondentie-adrespostbus 3011, 5203 DA 's-Hertogenboschtelefoon 073-150150 (abonnementen 150231)ISSN 0166-137xfebruari 1982Figuur 2 toont hetzelfde verband nog eens, nu opeen meer gebruikelijkemanier. De grafiek isditmaal opgebouwd uittwee loodrecht op elkaarstaande assen, een voor de wcf, de ander voor debetonsterkte. Beide schalen zijn lineair. Denormsterkte van het cement wordt niet door eenschaal, maar door een aantal ingetekende lijnenTwee van deze drie grootheden kunnen vrijworden gekozen; de derde ligt daarna vast. Uitgegeven normsterkte + gewenste betonsterktevolgt de vereiste wet, uit normsterkte + wcf de teverwachten betonsterkte en uit wcf + gewenstebetonsterkte de vereiste normsterkte van hetcement. De grafiek is gebaseerd op de bekendeformule B = D,SN+ 25/W - 45,enmoet net alsdieformule met het nodige voorbehoud wordengehanteerd.4065 N60t5550450,650,600,5565 60 55 50 45 40I ! I I I I N60 50 40 3030B20I I I II 'II i II0,45 0,50 0,55 0,65 0,45 0.50Figuur 1 Figuur 2BETON/EK 5/20 was gewijd aan het onderwerp'grafieken'. Een misschien wat minder bekendtype grafiek kreeg daarbij duidelijk de meesteaandacht. Deze was opgebouwd uit een of meerlosse scha/en, rechte of kromme lijnen, voorzienvan een schaalverdeling en van waarde-aanduidingen. Figuur 1 geeft een voorbeeld. Indeze figuur wordt het verband tussen norm-sterkte cement, betonsterkte en water-cement-factor aangegeven. De grafiek bestaat uit drierechte schalen; twee ervan hebben een lineaireschaalverdeling, de derde is reciproke. Hetaflezen gaat heel simpel door een lineaal over degrafiek te leggen en afte lezen in welkepunten dedrie assen worden gesneden. Deze snijpuntenkomen dan overeen met drie bij elkaar horendewaarden van normsterkte, betonsterkte en wcf.GRAFIEKEN (11)6080/ I/ J/ /I/, I/ / J/ / // / 1/ /' // // I/ .s // 7 /20 ///-_.-Figuur 3 toont de korrelverdeling van een toe- .slagmateriaal tegen de achtergrohd van degraderingsgebieden van de VB 1974.In één oog-opslag is duidelijk hoe het met de bruikbaarheidvan dit mengsel staat en hoe het eventueelverbeterd kan worden. Dezelfde gegevenszouden met losse schalen kunnen worden weer-gegeven, maar enig voordeel biedt dit niet,integendeel. Overigens is op de manier waaropdeze grafiek gewoonlijk getekend wordt wel enigcommentaar mogelijk. We komen daar ineenvolgende aflevering nog op terug.o0,5 1 2 4 B 16 31,5Figuur 3Figuur 4 toont het verloop van controleproef-resultaten, gepresenteerd overeenkomstig deVB 1974. De vorm is niet alleen voorgeschreven,maar voor dit soort informatie ook de meestpraktische manier van weergave.aangegeven. Ook in deze grafiek kan, wanneertwee grootheden gegeven zijn, de derde wordenafgelezen. Bij enig proberen zal echter al snelblijken dat in dit opzicht figuur 1 verrewegvoorkeur verdient. Aflezing gebeurt niet alleensneller, maar ook nauwkeuriger.Snel en nauwkeurig aflezen echter niet deenige reden waarom grafieken worden gebruikt.Zo laat figuur 2 duidelijker dan figuur 1 zien, datwatertoevoeging aan een specie met een lage wcfmeer sterkteverlies geeft dan eenzelfde hoeveel-heid water aan specie met een hoge wcf.Figuur 5 (overgenomen uit BETON/EK 4/19) ten-slotte geeft in de vorm van een puntenwolk hetverband tussen de 7 en de 28 daagse druksterktevan betonkubussen. Voor zo'n geval is eengrafiek type 2 zelfs de enige mogelijkheid.Kortom, in alle gevallen waarbij het gaat om eenverloop van een variabele of het verband tussenvariabelen aanschouwe/ijkte maken, verdienttype 2 de voorkeur. Daarom in deze aflevering watmeer aandacht voor grafieken op basis vanbeeldlijnen. Want dat is de officiële naam van dittype grafiek.BeeldlijnenOp de schalen van figuur 1stelt elk punt eenbepaalde meetwaarde voor. In hetrneertradl-tionele type grafiek, waarvoor figuur 2 als2\ -\rcontrolegrens 19.5N/mm2_.--.- _.- -.- -'- _. -'--- -12,5N/mm 2-- - -----------------1012161820222630N/mm28kubusdruksterkteFiguur 4(overgenomen uit va 1974)26nummer steekproef9 10 11 125040rue;3010 20 30 40druksterkte na 7 dagen (N/mm2 )Figuur 5voorbeeld dient, worden de meetwaarden nietdoorpunten, maar door lijnen weergegeven. Zo'nlijn is als het ware een afbeelding van debetreffende meetwaarde, en heet daarom eenbeeldlijn.Bij een schaal wordt om praktische redenen nietelke meetwaarde door een getal, of zelfs maardoor een streepje aangegeven. Om dezelfdereden worden in een beeldlijn-grafiek niet allewaarden door een lijn aangegeven; men beperktzich ook hier tot ronde waarden. Voor tussen-Iiggende waarden moet men de betreffendelijnen zich er maar bij denken.In figuur 2 is een bundel van die lijnen directherkenbaar: het zijn de lijnen die de normsterkteaangeven. Waar zijn nu de overeenkomstigevan wcf en betonsterkte? Ze zijn, zoals nietongebruikelijk is, weggelaten; alleen hun plaatsis voorwater-cementfactoren van 0,45tot 0,60enbetonsterkten van 20 tot 60 N/mm2 doorrespectievelijk de horizontale en de verticaleschaal aangegeven. De bijhorende beeldlijnenmoet men zich verticaal respectievelijk horizon-taal door die plaatsaanduidingen getrokkendenken.Wanneer dergelijke grafiek op millimeter-papier wordt getekend, dan fungeren de lijnenvan dat papier als beeldlijnen. Bij zo'n grafiek (bijde meeste op grafiekenpapiergetekendegrafieken trouwens), zijn er dus twee bundelsevenwijdig lopende beeldlijnen, die elkaaronder-ling loodrecht snijden. Echt nodig is dat eigenlijkniet. Figuur 6 laat zien hoe een beeldlijn-grafieker in zijn meest algemene vorm uit kan zien. Er istevens op aangegeven hoe zo'n grafiek kanworden afgelezen. Elk punt in de grafiek kanworden gezien als het snijpunt van drie beeld-lijnen. Twee ervan kunnen steeds vrij worden0,45Figuur 6gekozen, de derde ligt daarna vast.Herkent u overigens figuur 6 als een vervormdefiguur 2?Vervormen van een grafiekIn principe kan elke grafiek op vele manierenworden vervormd zonder dat de juistheid ervangeweld wordt aangedaan. In BETONlEK 5/20zagen we dat door een lineaireschaal hierwat uitte rekken en daar wat in te krimpen een hele serieandere schalen gevormd kon worden: logarit-mische schaal, wortelschaal, reciproke schaalenz.Het millimeterpapier waar we het zo juist overhadden, is voorzien van twee lineaire schalen termarkering van twee series beeldlijnen. Elk vandieschalen kan door rekken en krimpen wordenvervormd. Het resultaat is dan, dat debetreffendebeeldlijnen plaatselijk dichter bij elkaar of verdervan elkaar af komen te liggen. Wel blijven zedaarbij evenwijdig en haaks.Op deze wijze kunnen allerlei soorten grafieken-papier worden gemaakt. Op al die soorten zijndus al twee series beeldlijnen ingetekend. Zewachten alleen nog op de waarde-aanduidingenen het intekenen van het verband tussen beidevariabelen, eventueel in afhankelijkheid van eenderde variabele.Bekende typen zijn:- enkel logaritmisch papier, met een lineaire eneen logaritmische as,dubbel logaritmisch papier, met twee loga-ritmische assen,- waarschijnlijkheidspapier, met een lineaire oflogaritmische as een een normaal verdeeldeas,maand- of jaargrafiekenpapier, met op dehorizontale aseen verdeling in 31 of 366dagen(erg handig voor maand- en jaaroverzichten).3Figuur 7LY .r:V ,A r-./50 ,I' /VY YV Yy y00,650;70wef 0,55Een logaritmische as kan lopen van 1 tot 10 (ofvan 10 tot 100,dat komt qua verdeling opzelfde neer), maar ook van 1 tot 100,1 tot 1000enz. Verder kan zo'n as horizontaal of verticaalzijn uitgezet. Dat alles bij elkaar geeft een enormevariatiemogelijkheid. Een groot aantal van diecombinaties is in de handel verkrijgbaar.Net als bij deschalen ishet aantal mogelijkhedendaarmee nog lang niet uitgeput. Om nog evenfiguur6 als voorbeeld aan te halen: deze is uitfiguur 2 ontstaan door er van af te zien dat debeeldlijnen evenwijdig lopen, recht zijn of elkaarloodrecht snijden. Om praktische redenen isverder de waarde-aanduiding van beton- ennormsterkten verschoven naar het andere eindvan de betreffende beeldlijnen. Vervolgens isalleen het deel van de grafiek tussen de lijnenvoor N= 40 en N = 65 getekend; de rest vanfiguur 2 is weggelaten. Entenslotte isdan de helefiguur nog een kwart slag rechtsom gedraaid.Bij al die vervormingen blijft toch iets belangrijksconstant: elk snijpunt van drie (getekende, danwel denkbeeldige) lijnen geeft nog steedsdezelfde driebijeenhorendewaarden van a, N enwcfaan.Natuurlijk is figuur 6 niet een betere manier omhet betreffende verband weer te geven. Zij is meerbedoeld als voorbeeld van mogelijke ver-vormingen en bovendien als een aansporing omeen grafiek ook eens uit een wat andere hoek tebekijken. Ten opzichte van figuur 2 heeft figuur 6wat dat betreft inderdaad een voordeel: de drievariabelen worden er meer gelijkwaardig inweergegeven. Figuur2 nodigt als het ware uit om,uitgaande van eenbepaalde wcf, gecombineerdmet een bepaalde normsterkte, uiteindelijk tekomen tot een te verwachten betonsterkte.Natuurlijk kan ookwel uit een gegeven wcf en eengewenste betonsterkte de vereiste normsterktevan het cement worden afgeleid, rnaar hetverloop van de beeldlijnen en bovendien eenbepaalde gewoontevorming leggen toch eenzekere rem op deze manier van aflezen. Alleendaarom al is het wel eensnuttig om een grafiekeens wat anders dan op de traditionele manier tetekenen.Een bezwaar van figuur 6 is, dat de beeldlijnenniet recht zijn en bovendien niet evenwijdiglopen. Dat is echter gemakkelijk te verhelpen: wetrekken ze gewoon recht en zorgen daarbij, datalle snijpunten op elkaar blijven liggen. Figuur 7is het resultaat. In deze figuur zijn de drievariabelen echt volledig gelijkwaardig.Net als figuur 6 is figuur 7 alleen maar als voor-beeld bedoeld. Welke vorm uiteindelijk in eenbepaald geval het beste kan worden gekozenhangthelemaal af van het doel van de grafiek.VariabelenWe hebben in het voorgaande regelmatiggesproken over variabelen, en het wordt nu tijdom datbegrip eens wat nader te omschrijven. Eenvariabele is een grootheid, die meer dan éénwaarde kan aannemen. Voorbeelden zijn druk-sterkte, cementklasse, water-cementfactor,zeefmaat, monsternummer enz. Het tegen-gestelde van een variabele is een constante. Hetverschil is niet zo scherp als het lijkt. Voor A-cement kan het verband tussen water-cernent-factor Wen betonsterkte aworden aangegevendoor de formule a= 25/W - 5, voor B-cementdoor a= 25lW - 1, en voor C-cement doora= 25/W + 3 N/mm2·In deze formules komen twee duidelijke varia-belen voor; aen W. Verder is er een duidelijkeconstante: de factor 25in 25/W. Tenslotte zijn erdan nog 3 constanten, respectievelijk - 5, 1 en+3, die performule weliswaar constant zijn, maarover de drie formules op regelmatige wijzeveranderen. Men zou dus van een variabele con-stante kunnen spreken. Wat in werkelijkheidvarieert is naturlijk de normsterkte; de formulesslaan op A-, B- en C-cement, met verondersteldenormsterktes van resp. 50, 55 en 60 N/mm2·4druksIerkte ( N/mm 2)Van de viervariabelen kunnen er twee wordengekozen; de andere twee liggen dan vast. Wekunnen hun verband dus nu wel een beeldlijn-grafiek vastleggen. In figuur 8 is dat gedaan. Ter150280 300 320I kg/m'lA50 N/mm2Hoeveel van zulke variabelen kunnen we inéén grafiek kwijt? Dat hangt af van de vorm. Opeen enkele schaal kunnen we niet meer dan éénonafhankelijk variabele kwijt, in een beeldlijn-grafiekniet meer dan twee. Zijn er meer dan tweeonafhankelijk variabelen, dan moeten we of deruimte in (met bijvoorbeeld drie loodrecht opelkaar staande assen, waarbij de waarden vaneen varlabele worden aangegeven door vlakken),of we moeten overstappen op het in BETON/EK5/20 behandelde systeem van losse schalen.Wat betreft het aantal afhankelijk variabelen is erdaarentegen al een een beperki ng in verband metde overzichtelijkheid van de grafiek.Voor A-cement met een veronderstelde norm-sterkte van 50 N/mm2 werd het verband tussenbetonsterkte en wcf aangegeven door de formuleB = 251W - 5 N/mm2· We kunnen daargemakkelijk een derde variabele aan toevoegendoorde water-cementfactor Wte vervangen doorde term wie, waarbij whet watergehalte is in11m3 , en c het cementgehalte in kg/m3 · Er komtdan te staan: B = 25clw- 5.Als we er van uitgaandat hoogovencement klasse A wordt gebruikt ende specie volledig wordt verdicht, dan is er nogeen andere grootheid die van 0 en wafhanklijk is:de hoeveelheid toeslagmateriaal t. Immers 1m3specie bevat dan c12,95 liter cement, w literwateren 1000- 0/2,95 - w liter toeslagmateriaal.Hieruit volgt dan t =2,65 (1 0/2,95 w)kg/m3·cale as, Een wet is dat echter niet, en zoalsgezegd: het werktsoms wel eens verhelderend,wanneer van een bepaalde gewoonte wordtafgestapt.1903__FiguurBEr is nog een tweede onderscheid mogelijk. Indevoor A-cementgegeven formule B = 25/W 5kan men naar believen een bepaalde wcf ver-onderstellen, bijvoorbeeld W = 0,5, Of0,6 of0,491.Zo'n vrij te kiezen variabele wordt een onaf-hankelijk variabele genoemd. Zodra echter eenkeuze voor is gemaakt, ligt de waarde van Bvast. Bij W = 0,5 hoort onherroepelijk B = 40, bijW = 0,491 B = 45,9. Dat laatste mogen we echterbest afronden op 46 of misschien zelfs nog beterop 45. Want al is de wcf nu wel erg nauwkeuriggegeven, dat verhoogt niet de betrouwbaarheidvan de toegepaste formule. Hoehet ook zij, als Wis gekozen, ligt B vast. We noemen zo'n op dezemanier vastgelegde waarde afhankelijk variabel.Meestal is het een kwestie van keuze welke vandevariabelen onafhankelijk en welke afhankelijkzijn.In ons voorbeeld zouden we ook kunnen uitgaanvan een willekeurig gekozen waarde van B.ln datgeval is B de onafhankelijk variabele en wordt Wafhankelijk van de toevallige keuze van B.Het is gebruikelijk om ineen beeldlijn-grafiek mettwee loodrecht op elkaar staande assen deafhankelijk variabele uit te zetten langs de verti-Vaak kan een variabele (binnen bepaaldegrenzen), elke willekeurige waarde innemen.Voorbeelden zijn druksterkteen wct. Wenoemenzo'n variabele continu. Het komt echter ook voor,dat een variabele alleen maar zeer bepaaldewaarden kan aannemen: cementklasse A, B of C,zeef C4, C8, C16, monster nr. 3876 enz. Tussen-liggende waarden bestaan niet of worden in iedergeval niet gebruikt. Een dergelijke variabele heetdiscreet. Het al dan niet discreet zijn van eenvariabele heeft gevolgen voor de weergave in eengrafiek: het is principieel onjuist om punten dooreen lijn te verbinden als tussenliggende waardenin feite niet bestaan. We komen ernog op terug.Voeren we die normsterkte nualsderdevariabelein, dan blijkt uit het verloop van de drie con-stanten, dat 5 N/mm2 normsterkte overeenkomtmet 4 N/mm2 betonsterkte. De formule wordtdaarom B = 0,8N + 251W - 45 N/mm2· Ditvoorbeeld is geen uitzondering. Meestal is eenschijnbare constante dat alleen maar, omdateenof meer variabelen constant worden gehouden.5wi lIe van de overzichtelijkheid is er naar gestreefddevier bundels beeldlijnen elkaar onder hoekenvan circa 45 graden te laten snijden. Desondanksblijkt duidelijk, dat weergave van 4 variabelen ineen grafiek toch wel een beetje de grens is. Inieder geval is het voordeel van een beeldlijn-grafiek, het aanschouwelijk maken vanverbanden, wel verdwenen. Er zouden trouwensnog meer belangrijke gegevensin de grafiekkunnen worden opgenomen: de verwerkbaar-heid en het luchtgehalte, die immers allebeiafhangen van de gebruikte hoeveelheid water.Zou men al die factoren in een grafiek willenverenigen, dan zal men toch zijn toevluchtmoeten nemen tot een aantal losse schalen, op demanier van figuur 1, eventueel in combinatie meteen beeldlijn-grafiek. Want ook dat is mogelijk.Het tekenen van grafiekenIn het voorgaande iszowel aangrafieken op basisvan schalen als aan grafieken op basisvan beeld-lijnen redelijk aandacht gegeven. Op zijn minst isduidelijk gemaakt hoe zulke grafieken er uitkunnen zien en hoe er mee kan worden gewerkt.Blijft nog over de vraag hoe een bruikbare grafiekkan worden geconstrueerd. Wat bepaalt de keustussen schaal- of beeldlijngrafiek, welke schaal-verdelingen moeten worden gekozen voor deverschillende variabelen, welke variabele moetop welke as worden uitgezet en hoe moetzo'ngrafiek als geheel worden ingericht? Hoeconstrueerje bijvoorbeeld zo'n grafiek waarin hetverband tussen speciesamenstelling (cement,toestaqmateriaat, lucht en water), normsterkte,betonsterkte en verwerkbaarheid snel en redelijknauwkeurig kan worden afgelezen?Vragen die een antwoord verdienen, maar voorhun behandeling toch even zullen moetenwachten op een volgend nummer vanBETON/EK.6