Een maandelijkse uitgave van deNederlandse Cementindustrieredactie-adresHerengracht 507 Amsterdamtelefoon 020-238531 februari 1973 12Keuring van betonDe keuring van het materiaal beton vindt ookvolgens de nieuwe voorschriften plaats aan dehand van de sterkteresultaten van proefkubus-sen. Bij de beoordeling van deze resultatenworden begrippen als gemiddelde en karakte-ristieke sterkte en standaardafwijkinggehan-teerd. Deze uit de statistiek afkomstigeden zullen vermoedelijk een groot deel vanonze lezers niet zo direct aanspreken. In BE-TONIEK 1/13 is daarom al een toelichting ge-geven op deze termen en wij zouden misschienkunnen volstaan met daarnaar te verwijzen.Aangezien waarSchijnlijk niet alle lezers in hetbezit zijn van band 1, meenden wij goed tedoen de daarin gegeven toelichting gedeelte-lijk te herhalen. Daarbij zal dit nummer meer inhet bijzonder ingaan op de praktische toepas-sing van genoemde begrippen, terwijl in eenvolgende aflevering de keuringsvoorschriftenzelf onder de loep zullen worden genomen.Het verzamelen van waarnemingenStatistiek is de leer en methode om conclusieste trekken uit verzamelingen van cijfers. Dit zijnin de regel resultaten van uitgevoerde proeven,in de statistiek aangeduid als waarnemingen.Nu zegt men wel eens dat cijfers niet liegen,maar men vergeet daarbij dat leugenaars welcijferen. De conclusies die met behulp vanstatistische methoden worden getrokken, zijnnatuurlijk afhankelijk van de juistheid van hetcijfermateriaal, dat men bewerkt. Uit onjuistecijfers komen nooit de juiste conclusies; hoog-stens is de statistiek in staat om twijfel uit tespreken over de betrouwbaarheid van het cijfer-materiaal.Het nut van gegevens die men verkrijgt, kanaanmerkelijk toenemen als men ze op een over-zichtelijke wijze presenteert. Dit kan gebeurendoor de cijfers naar grootte in te delen in eenaantal groepen (klassen). Stel dat de eerstevijf uitslagen van kubusdruksterkten op eenbouwwerk zijn: 30,0 30,8 30,4 29,2 en34,4 N/mm2(1 N/mm2is ongeveer 10 kgf/cm2).In figuur 1 zijn de waarden als 'kubussen' ge-plaatst boven de klasse, waarin ze thuis horen.Resultaat 4, dat in dezelfde klasse als resul-taat 1 terecht komt, wordt 'gestapeld' op num-mer 1.Als we zo doorgaan, zal het resultaat van 50waarnemingen het histogram van figuur 2 op-leveren. We moeten bij deze werkwijze weldenken, dat deze alleen maar geoorloofd iswanneer we beschikken over vergelijkbarecijfers, dus bij voorbeeld alle van één beton-samenstelling.Figuur 10 0 0 q, 0 0 0 0 0 0 0ai K Ri rà ",. \(\ CV ~gllJ ii\ f'\ 10 f'\ f'\ f'\ la rnI I I I I I I I.!. I IRi-...iä10- K k\la It' In In InDe normale verdelingBij toename van het aantal cijfers zal het histo-gram een steeds regelmatiger vorm gaan aan-nemen, waarbij meestal de meeste cijfers rondhet midden gegroepeerd zijn, terwijl hoge enlage waarden minder voorkomen. Men spreektdan van een normale verdeling. Bij een grootaantal resultaten maakt men geen grote foutwanneer men het 'hoekige' histogram vervangtdoor een vloeiende lijn. De statisticus noemtdit een Gauss-kromme (fig. 3).De hoogte van de kromme geeft een beeld vande verdeling van de sterkteresultaten. Bij nauw-keurig werken krijgt men een hoge, smallekromme, dus veel resultaten vlak bij het mid-den en zeer weinig grote afwijkingen daarvan.Bij minder nauwkeurig werken komen meer engrotere afwijkingen van het midden voor. Dekromme wordt daardoor platter en breder; de--,.. x2Een histogram3Normale verdeling: Gauss-kromme4Normale verdeling met een grote spreiding2cijfers worden als het ware meer uitgespreid.Men zegt dan ook dat in dat geval de spreidinggroter is (fig. 4).De meest voorkomende, centrale waarde ispraktisch gelijk aan het rekenkundiggemiddel-de van alle cijfers en wordt aangeduid met f,/,(spreek uit: mu= de Griekse letter m).Voor het bepalen van de nauwkeurigheid vanons werk is het uiteraard van veel belang despreiding van onze resultaten te leren kennen.Enig inzicht hierover verschaft ons het verge-lijken van de hoogste en de laagste waarde.Liggen beide ver uit elkaar dan is men geneigdom aan te nemen, dat de spreiding groot is.Toch is 'dit niet helemaal waar, want een grootverschil tussen hoogste en laagste cijfer kanheel goed te wijten zijn aan het resultaat vanéén enkele mislukte proef, terwijl de hele restvan de resultaten dicht bij het gemiddelde ligt.Er is dus duidelijk behoefte aan een betereaanduiding van de spreiding.Gelukkig bestaat deze mogelijkheid. We gaaner daarbij van uit dat de Gauss-kromme sym-metrisch is, dat wil zeggen dat er evenveelwaarden boven als beneden het gemiddeldeliggen. We bepalen nu van alle gevonden waar-den hoeveel ze (+ of -) van het gemiddeldeafwijken. Daarna berekenen we van deze af-wijkingen het kwadraat (waardoor de tekenswegvallen) en tellen al deze kwadraten bij el-kaar op. Wanneer we nu de som van deze kwa-draten delen door het totaal aantal waarnemin-gen, dan krijgen we een soort gemiddeldewaarde van de afwijkingen, nog altijd in hetkwadraat. Trekken we hieruit de wortel, dankrijgen we een getal dat we standaardafwijkingnoemen. Deze standaardafwijking is inderdaadeen maat voor de spreiding van onze resul-taten en daarmee een van de meest ~~volle cijfers in de statistische wetenschap; ze3Figuur 5Figuur 6wordt aangeduid met (T (sigma = de Griekseletter s).Wanneer we nu terugkeren naar de Gauss-kromme dan stelt het oppervlak tussen dekromme en de horizontale as het totaal aantalwaarnemingen voor. Nu zijn de bovenstaandebeschouwingen algemeen en beslist niet alleenbeperkt tot het bepalen van druksterkten vanbeton. Er bestaan daarom tabellen, die onskunnen vertellen hoeveel procent van allecijfers boven of beneden een bepaalde waardeliggen. Het blijkt dan dat 68% van alle waar-nemingen niet meer dan de standaardafwijkingvan het gemiddelde af ligt (fig. 5). Binnen twee-maal de standaardafwijking (naar boven ofbeneden) ligt 95% van alle resultaten. Dit be-tekent dat slechts 2,5