Een uitgave van deNederlandse Cemenllndustrleredaclle-adresHerengracht 507 Amsterdamtelefoon 020-238531 maart 1971 TI/13Sterkte en statistiekInleidingArtikel A-609van de nieuwe Voorschriften Beton1972 behandelt de controle van de druksterkteaan de hand van proefkubussen. In dit artikelwordt gesproken over de karakteristieke druk-sterkte en over standaardafwijkingen. Dit zijnbegrippen die weliswaar niet nieuw zijn, maar invoorschriften voor cement en beton tot nog toenauwelijks zijn gehanteerd. Voor menigeen uitde cement- en betonwereld zullen ze daaromtoch nog onbekend zijn. Een toelichting op deVB 1972 zal daarom moeten beginnen met eenverklaring van deze uit de statistiek afkomstigetermen.Een beetje stalIsllekWanneer m.en uit een massa materiaal, bijv. eenscheepslading cement. een groot aantal mon-sters neemt en die op een bepaalde eigenschaponderzoekt, dan zal men niet voor alle monstersprecies hetzelfde resultaat vinden, maar eenaantal verschillende waarden. Dit geldt overi-gens voor ieder aantal waarnemingen en iederemassa materiaal. Wij zullen ons echter houdenaan het ons vertrouwde materiaal cement enaannemen dat uit een scheepslading cement 50monsters worden genomen en dat van allemaalop dezelfde wijze de druksterkte na 28 dagenwordt bepaald. We vinden dan zeker niet 50maal dezelfde waarde, maar ook niet 50 ver-schillende resultaten. Integendeel, sommigewaarden komen meermalen voor, andere min-der of slechts een enkele keer.Hoe komt dit nu?Zelfs het best gemengde cement vertoont doorde hele lading heen nog minimaal kleine afwij-kingen in de samenstelling. De meest nauwkeu-rige vervaardiging door een geroutineerde ensecuur werkende laborant levert nog (nauwelijksmerkbare) verschillen in de samenstelling vande proefstukjes op. Ten slotte zullen tijdens hetbewaren en het uiteindelijke meten van de druk-sterkte nog kleine verschillen in de ontwikkeldedruksterkte naar voren komen. AI deze kleineonregelmatigheden zullen elkaar nu eens tegen-werken, dan weer in dezelfde richting hun in-vloed uitoefenen en zo ontstaat dan de bonteverscheidenheid van cijfers, waaruit we nu maarde juiste waarde moeten uitzoeken! We zullendaartoe eerst eens nagaan hoe die verschil-lende waarden verdeeld zijn.Verdeling der gevonden waardenWanneer we uit de 50 gevonden cijfers het ge-middelde berekenen en dan eens nagaan inhoeverre de verschillende waarden van dit ge-middelde afwijken, dan blijkt daarin een duide-lijk systeem te zitten. Waarden die praktischgelijk zijn aan dit gemiddelde of er maar weinigvan afwijken, blijken veel meer voor te komendan waarden die veel van het gemiddelde ver-schillen.Het duidelijkst zien we dit wanneer we een gra-fische voorstelling van het geheel maken, waar-bij we op de horizontaie as de verschillendewaarden uitzetten en op de verticale as het aan-tal malen, dat deze waarde voorkomt. Meestaldoen we dit niet voor alle cijfers afzonderlijk,maar groeperen we waarnemingen door afron-ding in een beperkt aantal verschillende klas-sen. Het resultaat blijft overigens hetzelfde: erontstaat een klokvormige kromme lijn, die er inzijn ideale vorm uitziet als figuur 1. Deze krom-me wordt naar de wiskundige, die haar ontdekte,'Gauss'-kromme genoemd.Het spreekt wel vanzelf dat, wanneer we werke-lijk willen weten wat de druksterkte na 28 dagenvan deze lading cement is, we geen 50 afzon-derlijke monsters zuilen onderzoeken. Dat zoueen dure en tijdrovende geschiedenis worden.Meestal mengen we de verschiilende in hetschip genomen monsters tot één gemiddeldmonster en maken daarvan een beperkt aantalproefstukjes. Misschien krijgen we zo ten slottemaar zes cijfers.Maar nu? Mogen we nu aannemen, dat de ver-deling bij dit veel kleinere aantal op dezelfdemanier is verlopen en daarom het gemiddeldevan deze zes als de waarheid beschouwen?Wanneer diè zes cijfers onderling weinig ver-schiilen hebben we veel kans dat ze in de dicht-bezette top van de kromme thuishoren en dathet gemiddelde ervan ten naaste bij gelijk isaan dat uit de 50 proeven. Zekerheid daaroverhebben we echter niet. Kunnen we daarvan nunog iets naders te weten komen?Herhaling van de proefMet het bovengenoemde doel voor ogen gaanwe in de eerste plaats de grote proef herhalen.We gebruiken daartoe dezelfde monsters, waar-van we een deel hebben bewaard. Onze securelaborant is echter intussen ziek geworden en deman die hem vervangt, is met dit werk mindervertrouwd en bovendien wat slordiger dan zijncoilega. Wanneer we dan ook na afloop weereen grafische voorstelling maken van de waar-nemingen, zien we dat de kromme lijn er ietsanders uitziet (lig. 2). Het is In hoofdzaak weldezelfde vorm, maar de top is minder hoog enhet verloop naar nul is veel langzamer. Andersuitgedrukt: het aantal waarden dat weinig vanhet gemiddelde afwijkt is kleiner en bovendienkomen er naar beide zijden grotere afwijkingenvan het gemiddelde voor; de spreiding is groter.Wanneer we nu de beide krommen nog eensvergeiijken, dan blijken ze toch duidelijk één21 - 2Gauss-kromme met kleine spreiding (1) engrote spreiding (2); de afstand van de sym-metrie-as tot het buigpunt geelt de standaard-afwijking aan.2sym.askarakter te hebben. Een 'bol' gedeelte aanweerszijden van het gemiddelde gaat op eengegeven ogenblik over in een 'holle' lijn, dielangzaam uitloopt naar de horizontale as zonderdeze ooit helemaal te bereiken. De buigpunten,waarbij de lijn van bol naar hol ombuigt, heb-ben een bijzondere betekenis. De afwijking vanhet gemiddelde, die met deze punten overeen-komt, wordt standaardafwijking genoemd.We willen proberen de kromme in cijfers te be-schrijven en tellen daartoe eerst het aantalwaarnemingen, dat niet meer dan de standaard-afwijking boven of onder het gemiddelde ligt.Dit blijkt ongeveer 2/3 van het totaal aantalwaarnemingen te zijn, onverschillig of de krom-me een kleine of een grote spreiding heeft.Binnen de grenzen van tweemaal de standaard-afwijking ligt 95'10 van alle waarnemingen enhet aantal waarnemingen dat meer dan drie-maal de standaardafwijking overschrijdt, ispraktisch nul.BerekeningenHet is uit het bovenstaande wel duidelijk gewor-den dat de standaardafwijking een maat is voorde spreiding van onze waarnemingsuitkomstenen daarmee ook een maat voor de nauwkeurig-heid, waarmee we hebben gewerkt. Het is dusvan belang om die standaardafwijking te ken-nen. Gelukkig hoeven we daartoe niet de om-slachtige methode te kiezen van het tekenenvan de Gauss-kromme, want de standaardafwij-king laat zich op vrij eenvoudige wijze bereke-nen. Hiertoe bepalen we van alle gevondenwaarden hoeveel ze (+ of -) van het gemiddel-de afwijken. Van alle afwijkingen wordt hetkwadraat berekend en alle kwadraten bij elkaaropgeteld. De som van die kwadraten delen wedoor het totaal aantal waarnemingen. Het ge-vonden quotient is het kwadraat van de stan-3daardafwijking; we hoeven er dus maar dewortel uit te trekken om die standaardafwijkingte kennen.Voor een nauwkeurige berekening van de stan-daardafwijking hebben we een groot aantalwaarnemingen nodig, veel meer dan we ge-woonlijk tot onze beschikking hebben. We kun-nen echter wel een indruk van de grootte vandeze belangrijke eenheid krijgen wanneer wede kansrekening te hulp roepen. Nu is kans-rekening een moeilijk vak en het zou ons te vervoeren om er zelfs maar een vluchtige indrukvan te geven. We moeten daarom volstaan metde mededeling dat deze ons veroorlooft omzelfs uit een klein aantal waarnemingen een in-druk te verkrijgen van de grootte van de stan-daardafwijking en daarmee van de nauwkeurig-heid van ons werk. Zekerheid hieromtrent krij-gen we weliswaar niet, maar de kans is grootgenoeg om er in de praktijk van ons werk nutvan te hebben. Feitelijk maken we niet alleenvoor het bepalen van de standaardafwijking ge-bruik van de kansrekening. We doen dat al bijhet begin van ons onderzoek naar de kwaliteitvan de ontvangen zending. Het is immers nietmogelijk om hiervoor al het ontvangen materiaalte gebruiken; we zouden dan niets overhoudenvoor het doel waarvoor het bestemd isl Wemoeten ons dus vergenoegen met het nemenvan een beperkt aantal monsters: een steek-proef. De kansrekening doet ons nu een middelaan de hand om te kunnen vaststellen hoe grootdie steekproef moet zijn om een redelijke kanste geven, dat hij representatief is voor de helezending. Zowel de grootte van de steekproef alsde wijze waarop deze moet worden genomen,zijn dientengevolge aan regels gebonden, afge-stemd op de grootte van de zending en de aardvan het materiaal. Wij zullen op deze regels nietverder ingaan; in de VB 1972 is voor de ver-f!!J,'0... .. - c. 0 0 .·o ·.... o..···.K 0 . 0Q'" lschillende op beton uit te voeren onderzoekin-gen voorgeschreven hoe groot de steekproefmoet zijn.Een punt dat in het bovenstaande niet ter sprakeis gekomen is de kans, dat we door een of an-dere systematische fout in ons werk of in onzeapparatuur alle waarden te hoog of te laag vIn-den. Hier kan geen kansrekening ons helpen;de standaardafwijking van onze waarnemingenkan zeer laag zijn, maar Onze hele kromme ligtals het ware naar rechts of naar links verscho-ven. De enige methode om hier achter te komenIs, dat men hetzelfde onderzoek op hetzelfdemonster ook door een ander laat uitvoeren.Aangezien men ook in zo'n vergelijkend onder-zoek met variaties en een standaardafwijkingte maken heeft, moet een dergelijk onderzoekmeermalen metverschillende monsters wordenuitgevoerd. Pas wanneer men steeds hogere oflagere waarden vindt dan de ander, is er redenom aan een systematische fout te denken. Wievan beiden die fout maakt, kan ook dan nogniet worden gezegd. Systematisch vergelijkenvan de gevolgde werkwijze en eventueei in hetonderzoek betrekken van een derde laborato-rium zullen hier de oplossing moeten brengen.ToepassingWe hebben in het bovenstaande een tipje opge-licht van de sluier, die over de statistische we-tenschap hangt omdat, zoals in de inleidingreeds is aangeduid, statistische overwegingeneen rol hebben gespeeld bij de totstandkomingvan de sterkte-eisen in de VB 1972. Gewapendmet de opgedane kennis kunnen we nu de moti-vering van de sterkte-eisen volgen.Wanneer men een beton vervaardigt dan zal dit,afhankelijk van hei doel waarvoor het moetdienen of de plaats, die het in een constructieinneemt, moeten voldoen aan bepaalde eisen4van druksterkte. Het zou van weinig praktischezin getuigen indien iedereen maar op zijn eigenhoutje eisen aan beton ging stellen. Daaromscheppen de VB 1972 hierin orde door het on-derscheiden van een achttal betonkwaliteiten,waarmee aan de meest uiteenlopende wensenwordt tegemoet gekomen.Bij het vervaardigen van een industrieel produkt(en dus ook van beton) is men aan precies de-zelfde statistische wetten onderworpen als inhet eerste deel van dit verhaal zijn beschrevenvoor de resultaten van een onderzoek. Ook hiertreedt een spreiding op, die o.a. afhankelijk isvan de nauwkeurigheid, waarmee we werken.Wanneer we dus bijv. de opdracht krijgen omeen aantal betonkolommen In kwaliteit B 450te vervaardigen, dan moeten we ons zeker nietrichten op een beton dat precies een sterktevan 450 kgf/cm' kan bereiken. Onvermijdelijkzal dan ongeveer de helft van onze kolommeneen lagere, de andere helft een hogere sterktehebben. Willen we een redelijke kans hebben,dat het werk wordt goedgekeurd, dan zul:en wedus hoger moeten mikken. Natuurlijk is hethelemaal geen probleem om een beton te ma-ken met aanzienlijk hogere druksterkte dangevraagd wordt, bijv. door een betere verdIch-ting of door het gebruik van cement uit eenhogere kwaliteitsklasse. Dergelijke maatregelenkosten echter geld en het zou weinig econo-misch zijn om een beton te vervaardigen meteen sterkte van 600 kgf/cm' voor een werk-vloertje, waarvoor kwaliteit B 125 voldoende is.Het grote probleem is nu eigenlijk hoever onsgemiddelde boven de eis moet liggen om ener-zijds niet te duur te worden en anderzijds dekans op afkeuren van het werk zo klein mogelijkte houden. We bekijken hiertoe nog eens de fi-guren 1 en 2, waarbij we er in het bijzonder opletten dat de kromme lijnen nooit helemaal deTabel 1karakteristieke opgelegde gemiddeldebetonkwaliteit druksterkte standaardafwijking druksterktein kgf/cm' in kgf/cm' in kgf/cm'B 125 I125 461200I275B 1751175 61B 225 225 76 350in het werkgestort betonhorizontale as bereiken. Dit betekent dat er al-tijd een kleine kans blijft op grotere afwijkingenvan het gemiddelde. Hoe groter de afwijking.hoe kleiner de kans wordt, maar helemaal nulwordt zij nooit. Wij moeten een keus maken,welke kans op te grote afwijkingen we nog aan-vaardbaar achten, met andere woorden wat isonvoordeliger voor ons: het in een enkel gevalafkeuren van het werk of het voortdurend testerk maken van ons beton. In de VB 1972 is diekeus voor ons gemaakt. Men aanvaardt daarinde kans dat hoogstens 5% van alle druksterkte-resultaten de vereiste waarde zal onderschrij-den. Het punt op de kromme, waarbij dit hetgeval is blijkt 1,64 x de standaardafwijking on-der het gemiddelde te liggen. Men noemt dezedruksterkte de karakteristieke sterkte.Die karakteristieke druksterkte wordt nu alsgrenswaarde aangenomen voor de verschillen-de betonkwalileiten en dat betekent dat menzich moet richten op een gemiddelde druk-sterkte die 1,64 x de standaardafwijking hogerligt dan de gestelde eis. Het is dus zaak destandaardafwijking van ons werk te kennen.Ook hierin komen de VB 1972 ons tegemoet. MetTabel 2betonkwaliteithet vervaardigen van beton is genoeg ervaringopgedaan om te kunnen voorspelien hoe grootde standaardafwijking in bepaalde gevallen zalzijn.De uitvoering volgens betonklasse I is aannauwkeurig bepaalde voorschriften gebonden,zodat hier ook de standaardafwijking kan wor-den voorspeld. Deze is dan ook dwingend opge-legd, waarmee tevens vaststaat wat de gemid-delde druksterkte moet zijn (tabet 1).Bij de uitvoering volgens betonklasse II wordenhogere eisen gesteld aan de nauwkeurigheidvan uitvoering, waartegenover een grotere vrij-heid bestaat in de keus van de samenstellingvan het mengsel. Dit brengt mee dat de stan-daardafwijking minder gemakkelijk is te voor-spelien. Men heeft hier dan ook vrijheid zelf destandaardafwijking te bepalen en daarnaar tewerken. Men mag daarbij echter niet benedeneen bepaald minimum gaan (tabel 2), tenzij meneen steekproef van 12 kubussen neemt en aande hand daarvan de standaardafwijking bepaalt.Volledigheidshalve moet worden opgemerkt datminimale standaardafwijkingin kgf/cm'vooraf vervaar-digd beton5B 125B 175B 225B 300 en hoger3030405020203040zich aan de rechterkant van de kromme hetzelf-de afspeelt. Ook hier zal 5'10 van de vervaar-digde produkten een sterkte hebben, die meerdan 1,64 x de standaardafwijking van het ge-middelde verschilt. Aangezien aan de beton-druksterkte geen maximum grenzen zijn gesteld,heeft dit geen praktische betekenis.De VB 1972 schrijven voor de verschillendebetonklassen ook voor hoeveel proefkubussenmoeten worden vervaardigd voor de contrals-proef. Hierbij spelen de hoeveelheid verwerktbeton en de periode, waarin wordt gestortmede een rol. Deze regels voor het nemen vaneen steekproef waarborgen dat de uit dezeproef gevonden standaardafwijking mag wor-den gebruikt in de plaats van de (onbekende)werkelijke standaardafwijking van het vervaar-digde beton.Voor de betonlaborant, die met zorg zijn beton-kubussen heeft gemaakt en beproefd, is hetvermoedelijk geen opwekkende gedachte dathet resultaat van zijn werk nog met zoveel kan-sen en onzekerheden is omgeven. Toch moetenwe die onzekerheden nog met één vermeer-deren. Bij de meeste industriële produkten kun-nen we uit een ontvangen zending een aantalexemplaren nemen en op de gewenste eigen-schappen onderzoeken. Uit een lading bak-stenen kunnen we een aantal exemplaren alssteekproef nemen en bijv. op druksterkte onder-zoeken, van enkele lampen uit een zendinggloeilampen kunnen we de levensduur bepalen.De kans dat die steekproef geen juist beeld vande hele zending geeft, blijft natuurlijk bestaan.Het kan ons zelfs overkomen dat we daardooreen in hoofdzaak goede zending afkeuren ofomgekeerd een zending met veel foute exem-plaren toch goedkeuren.Bij beton komt daar nog iets bij: op het ogen-blik dat we het monster nemen is het nog geen6bJWDP"beton. Of we nu de betonspecie zelf op hetwerk hebben gemaakt of ze kant en klaar vaneen betonmortelbedrijf hebben gekregen, maaktin dit opzicht geen verschil. Altijd nemen wemonsters uit de specie en vullen daarmee ku-busmallen ; evenals de constructie zelf wordt ditpas beton door de verharding. We moeten numaar hopen dat die verharding in de kubussenop dezelfde wijze verloopt als in de constructie.Van de invloed die de vorm van de constructieen de wapening op de sterkte hebben, sprekenwe maar niet eens. De kubussterkte kan onsdus nooit méér geven dan een indruk van watwe van het beton mogen verwachten: zekerheiddat de sterkte dezelfde is, hebben we nooit.Betekent dit hele verhaal nu dat we eigenlijkaan die kubussterkte niet veel hebben en diesterktebepaling net zo goed achterwege had-den kunnen laten? Nee, gelukkig niet. De prak-tijkervaring leert dat in verreweg de meeste ge-vallen de proefkubussen een redelijk beeldgeven van de sterkte van het beton. De statis-tische overwegingen moeten ons alleen lerenom het resultaat van onze beproeving kritisch teblijven beschouwen en geven ons meteen enigeaanwijzingen wat de oorzaak kan zijn dat hetresultaat van de proefkubussen soms niet over-eenkomt met wat we van het beton meenden temogen verwachten.LiteratuurOntwerp Voorschriften Beton, VB 1972; Deel AGemeenschappelijk Gedeelte; verkrijgbaar bijde Betonvereniging te Zoetermeer.